Irreducibelt och reducibelt polynom

Om jag har ett polynom $f\left(x\right)=x^5-4x+22$ som jag vet är irreducibelt i Q(x) om man sedan reducerar det mod 5 får man $\overline{f}$(x)= $x^5+x+2=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+2)$. Kan man då säga att $\overline{f}$ är reducibelt i ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_5\left[x\right]$ eftersom det är skrivet som produkten av två polynom eller måste man också kolla om rötterna ligger i ℤ5x eller inte?