Irrationella tal/pi
Hej!
Har lite svårt att greppa dessa. Försökte först förstå vad pi's irrationalitet innebär för en cirkel. Innebär det att en perfekt cirkel aldrig kan defineras om man inte använder sig av ett oändligt antal decimaler för antingen diametern eller omkretsen eller vad betyder det.
En cirkel är väl definierad av sammanhängande punkter som ligger på exakt samma avstånd ifrån en punkt, vilket innebär att en perfekt cirkel kan definieras.. ja konceptuellt i alla fall. Men diametern eller omkretsen kan enbart definieras med hjälp av ett tal med oändligt många decimaler. Vilket då innebär att vi egentligen inte kan representera en perfekt cirkel exakt förutom med irrationella tal.
Irrationella tal är ju egentligen inget konstigt, det finns oändligt av dem mellan 1 och 2 exempelvis. Vilket gör det omöjligt att definiera något tal efter eller före ett irrationellt tal vad jag begriper. Tycker det är ett oerhört frustrerande koncept, även om det är helt logiskt.
Försökte läsa lite på Quora om saken och där tycker man rent allmänt att en "decimal expansion" är ett uselt sätt att definiera ett tal på överhuvudtaget, men ger istället inga alternativ.
Så tänker bara, hur kan man förhålla sig till eller greppa dessa tal mentalt på ett tillfredsställande sätt? Ska man finna sig i att det är tal som slutar, bara det att decimalerna fortsätter i oändligheten?
Rationella tal är de som går att uttrycka som kvoten mellan två heltal. Irrationella är de som man inte kan uttrycka så.
Även rationella tal kan ha oändlig decimalutveckling. T.ex. 1/3 = 0,33333333...
Dock har decimalutvecklingen för ett rationellt tal en period - samma siffror återkommer regelbundet. Detta hör inte till definitionen, det är bara ett intressant faktum.
Ja, precis. Känner till det.
Blev ett lite luddigt inlägg då jag skrev det snabbt.
Men 1/3 är enkelt att förhålla sig till ändå eftersom decimalerna ändå är i ett mönster.
Ungefär som att 0.99 i oändlighet är lika med 1.
Vilket gör det omöjligt att definiera något tal efter eller före ett irrationellt tal vad jag begriper.
Vad menar du med detta?
Tillägg: 4 jun 2024 09:11
Det är inget superenkelt att definiera irrationella tal. Det finns två huvudsakliga sätt: antingen använder man cauchyföljder eller så använder man Dedekindsnitt. Jag tycker Dedekindsnittkonstruktionen är den lättaste att förstå men du kan ju kolla in båda.
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Kika under "completeness"
Här finns en länk om bara reella tal:
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
En mindblow du ska vara beredd på är att tal i mängdteoretiska sammanhang definieras som mängder. Askonstigt första gången man ser det, men så är det. De naturliga talen definieras ofta som von Neumann ordinaler:
https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_definition_of_natural_numbers
naytte skrev:Vilket gör det omöjligt att definiera något tal efter eller före ett irrationellt tal vad jag begriper.
Vad menar du med detta?
Skulle inte uttryckt det som ett faktum, bara att jag tycker det är svårbegripligt.
Om man har ett tal med oändlig decimalutveckling som aldrig repeteras, vilket tal är då före och efter det talet. Det är ju bara en annan oändlighet.
T.ex. är ett irrationellt tal som kommer innan på tallinjen, men du menar kanske något annat?
Vilket tal kommer direkt efter ett tal med oändlig decimalutveckling som inte repeteras? Det blir en annan oändlighet. I så fall fastnar man ju på tallinjen liksom mer eller mindre i en oändlighet.. menar bara att det är frustrerande att förhålla sig till.
Tack för länkarna föresten, ska läsa igenom det.
Det är bara när det gäller naturliga tal och heltal som man kan säga vilket tal som kommer närmast efter föregående tal - att det är 3 som koller efter 2 (om man räknar uppåt) är självklart, men vilket tal som kommer efter ½ går inte att säga - det är alltså inte bara irrationella tal som är konstiga på det sättet. Komplexa tal är ännu värre - det går inte att säga vilket som är störst, 5 eller 3+4i.
Har inte läst om komplexa tal än, men är inte 3+4i ett tal som "är på väg" att roteras mot -, medans 5 bara är ett tal i positiv riktning? Men om man ser 3+4i som en vektor med absolut värde så.. jaha, ja, då är dom ju lika där ja. Men i och med att det är ett komplext tal så är det väl ändå mer roterat mot - och borde kunna ses som mindre. Men lite beroende på kontext kanske?
Om du har två rationella tal så kan du alltid få ett nytt rationellt tal mellan dem genom att ta deras medelvärde, så det finns inget "direkt efter" för rationella tal.
Dkcre skrev:Har inte läst om komplexa tal än, men är inte 3+4i ett tal som "är på väg" att roteras mot -, medans 5 bara är ett tal i positiv riktning? Men om man ser 3+4i som en vektor med absolut värde så.. jaha, ja, då är dom ju lika där ja. Men i och med att det är ett komplext tal så är det väl ändå mer roterat mot - och borde kunna ses som mindre. Men lite beroende på kontext kanske?
Det finns ett sätt att jämföra vektorers längd i , men det finns inget sätt att jämföra storlek mellan tal. Ett påstående som betyder vanligtvis ingenting, såvida du inte definierar själv vad de ska betyda.
Okej intressant.. men är då 2+2i lika stort som -2+2i^2? Bara att man befinner sig i en annan riktning? Storlek kanske är irrelevant när det kommer till användningsområdena för komplexa tal.
Storlek kanske är irrelevant när det kommer till användningsområdena för komplexa tal.
Det är inte att det är irrelevant som är problemet här, utan snarare att det inte går att definiera en ordningsrelation på på ett bra sätt. Definitioner kommer alltid med fördelar och nackdelar, och förenklat finns helt enkelt inget bra eller logiskt sätt att definiera en ordningsrelation bland komplexa tal på.
De reella talen ligger ju på en "linje", så de är ju enkla att jämföra till storleken. Men hur skulle du jämföra exempelvis med ? Vilket är "störst"? Hur skulle du göra med och ?
Tillägg: 4 jun 2024 11:24
Detta är en fråga som dyker upp inte alltför sällan. Här har du en tråd där samma sak diskuteras:
https://www.pluggakuten.se/trad/hur-tolkas-icke-reella-talens-olikhet-z-w/
Har inte läst om det så känns egentligen lite lönlöst att komma med några funderingar.
Men för att avgöra det behöver man väl introducera en referenspunkt och riktning. Så det beror väl alltid på. Men förstår vad du menar.
Annars snöar jag ständigt in på funderingar av den här typen istället för att faktiskt engagera mig med det jag borde, så lätt att ta sidospår. Man vill reflektera över och förstå allt så långt det går. Smartare är säkert att lära sig mycket relativt grundligt först så man har ett större perspektiv och fler verktyg..
Tack iaf
Men för att avgöra det behöver man väl introducera en referenspunkt och riktning. Så det beror väl alltid på.
"Riktning" anges med vinklar hos komplexa tal.
Annars snöar jag ständigt in på funderingar av den här typen istället för att faktiskt engagera mig med det jag borde, så lätt att ta sidospår.
Verkligen inget fel med att fundera över sådant här! Det är bara nyttigt. Detta är frågor de flesta inte ens ställer sig.
Trodde man kunde representera vinklar(riktning) med hjälp av komplexa tal? Exempelvis om man har -2 och 2i så är väl riktningen sett ifrån X+ axeln 135° eller 45° ifrån x-? Eller mer korrekt+- riktning på den reella linjen..
Fast får väl se sen.
