Inverterbarhet

Hur vet jag om en funktion är inverterbar?

I min bok står det att en inverterbar funktion (bijektiv funktion) är en funktion som har egenskaper från både en surjektiv respektive injektiv funktion.

$\{\begin{cases} S u r j e k t i v i t e t : A l l a e l e m e n t i Y ä r b i l d e r a v e l e m e n t i X, f i n n s a l l t i d p i l a r a t t i n v e r t e r a \\ I n j e k t i v i t e t : D e t f i n n s a l d r i g m e r ä n e n p i l \end{cases}$

Jag tolkar detta som att Df = Mf (målmängden) MEN inga element får enskilt generera två svar eller fler....

Ex:

$g (x) = x^{2} + 1 D_{f} = x \in R M_{f} = x \in R : x \geq 1 S Å d e n n a ä r i n t e i n v e r t e r b a r ?$

Har en fråga till som jag passar på att ta nu, OM en funktion är inverterbar dvs är en bijektiv funktion då ska sambandet nedan gälla?

$D_{f} = V_{f^{- 1}} V_{f} = D_{f^{- 1}}$

Nja, det är faktiskt värdemängden som skall vara lika med målmängden, $V_f=M_f$ . I övrigt har du rätt.

För funktionen $x^2+1$ är definitionsmängden $\mathbb{R}$ och målmängden $\mathbb{R}$ (detta gissar jag bara på eftersom du inte har specificerat), så det gäller faktiskt att definitionsmängden är lika med värdemängden. Men som jag sa så handlar det om att värdemängden skall vara lika med målmängden, och i detta fall är värdemängden $\{x\in\mathbb{R}:x\geq1\}$ , alltså är funktionen inte surjektiv eftersom $\{x\in\mathbb{R}:x\geq1\}\neq\mathbb{R}$

Sen är $x^2+1$ inte heller injektiv eftersom exempelvis $(-2)^2=4$ och $2^2=4$ , alltså är funktionen definitivt inte bijektiv.

Det sista sambandet du skriver stämmer.

Svara