inverterbar och diagonaliserbar

hej, vad är skillnaden mellan en inverterbar och en diagonaliserbar matris

en inverterbar matris har determinanten skilld från noll, och har då en invers, så att A*A^-1=A^-1*A=I-identitetmatris

mens en diagonaliserbar har en invers matris och en diagonal matris sådan att A=P^-1*D*P.

till exempel denna matrisen är inverterbar men inte diagonaliserbar A=(1 0, 1 1), men hur kan jag finna detta.

En matris A är diagonaliserbar om och endast om du kan finna en bas där alla vektorerna är egenvektorer till A.

Så undersök vilka egenvärden och egenvektorer som A har. Går det att få till en bas av egenvektorer?

Hej, nu fick jag det här systemet, men vet inte hur ska jag lösa den

Det ser ut som du gjort rätt. Steg 1 hitta egenvärden, steg 2 hitta egenvecktorerna till egenvärdena som hittade i steg 1.

Hur många egenvektorer har du hittat? Finns det tillräckligt med egenvektorer för att skapa en bas i dim(A)?

hej, och tack för din svar, men jag vet inte hur jag ska lösa den sista matrisen, som då ger mig egenvektorer. kan du hjälpa mig med att lösa den

Du har ekvationen 0 $\cdot$ x + 1 $\cdot$ y = 0. Vilka lösningar finns det?

y=0

Och vad får du för x-värde?

kan vi sette x lik parameter t, eftersom det gäller för alla reella tall x att 0*x=0

eller ska x också vara lik noll

Är problemet att du inte vet hur du ska lösa vad $\overset{⇀}{x}$ blir i sista ekvationssystemet?

Det kan vara enklare att lösa ekvationssystemet

$\{\begin{cases} 0 * x_{1} + 1 * x_{2} = 0 \\ 0 * x_{1} + 0 * x_{2} = 0 \end{cases} (1)$

tills det är begripligt vad som händer. Att skriva det på matrisform och lösa ekvationssystemet är ett snabbare/enklare sätt att lösa ekvationssystemet på men då måste man veta vad de olika delarna betyder.

Vilka lösningar har ekvationssystemet (1)? Lösningen kommer vara egenvektorn till egenvärdet som användes.

Vi ser att den övre ekvationen i (1) uppfylls för

$x_{1} = t, x_{2} = 0$

och den nedre ekvationen i (1) ger ingen mer information (den är alltid uppfylld för alla värden på variablerna).

Vi skriver lösningen till ekvationssystemet som

$\vec{x} = t * [\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}]$ där a är en konstant.

Lösningen till (1) är alltså en linje. Vi sätter a = 1 och säger att linjen har riktningsvektorn

$[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ .

Då kan vi skriva lösningen som

$\overset{⇀}{x} = t [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ .

Där tar vi våran egenvektor

$e g e n v e k t o r = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ .

Det är lätt att testa att denna vektor är en egenvektor, beräkna A * egenvektorn vilket ska ge tillbaka egenvektorn. Frågan är då, finns det tillräckligt med egenvektorer för att bilda en bas för dim(A)?

dim(A) är två, men eftersom egenvärdet1 = egenvärdet 2 = 1, så får vi bara en egenvektor till A, så det är inte tillräckligt med egenvektorer för att bilda en bas för dim(A)

dim(A) =2

x kan ju vara vilket värde som helst, eftersom 0 $\cdot$ x + 1 $\cdot$ 0 = 0 för alla värden på x.

Så den allmänna lösningen blir

$[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = t \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ . Där t kan anta alla värden utom 0. Håller du med?

Hur många linjärt oberoende egenvektorer kan du plocka ut ur lösningsmängden ovan? Du behöver två stycken linjärt oberoende egenvektorer för att bilda en bas. Går det i hop?

jag håller med på lösningen, och den ger oss bara en egenvektor, dvs bara en linjärt oberoende vektor, därmed går det inte att bilda bas ur denna lösningsmängden

Korrekt. Så din ursprungliga gissning stämde. Det går inte att diagonalisera.

tack så mycket det var till stor hjälp

Svara

Visa senaste svar