Inverterat bråk — algebraiska regler

Du kan inte bara multiplicera nämnaren med något.
Du förlänger ditt första bråk med den inverterade nämnaren.
Och får då som resultat att divisionen är bytt mot multiplikation med den inverterade nämnaren.

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}} = \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}*\frac{d}{c}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}*\frac{d}{c}}} = \frac{a}{b}*\frac{d}{c}$

Ditt andra uttryck stämmer inte alls och jag vet inte vad det var för uttryck du såg.

Det var inte  a/b = a*b^-1?

Louis skrev:

Du kan inte bara multiplicera nämnaren med något.
Du förlänger ditt första bråk med den inverterade nämnaren.
Och får då som resultat att divisionen är bytt mot multiplikation med den inverterade nämnaren.

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}} = \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}*\frac{d}{c}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}*\frac{d}{c}}} = \frac{a}{b}*\frac{d}{c}$

Ditt andra uttryck stämmer inte alls och jag vet inte vad det var för uttryck du såg.

Det var inte  a/b = a*b^-1?

Det var det jag sa. Man förenklar nämnaren genom att förlänga den, och får då täljaren i den ursprungliga divisionen dividerat med 1. Inga konstigheter. Det var inte det som var den huvudsakliga frågan. Frågan rör uttrycket jag skrev senare, vilket jag var tydlig med att nämna säkert inte stämmer alls. Det är bara någonting jag skrev som liknade det jag läst om. Det egentliga uttrycket är säkert det som du skrev. Det som gäller är alltså detta:

$\frac{a}{b}=a\times b^{-1}$

Jag skulle vilja be någon vänlig själ kunna förklara lite närmare hur multiplikationen nämnaren upphöjt med $-1$ är samma sak som division? Jag förstår att det är detta som är kärnan i kruxet med den "inverterade nämnaren"?

Du skrev att man multiplicerar nämnaren, inte att man också multiplicerar täljaren. Det är ju genom att både täljare och nämnare multipliceras med den inverterade nämnaren (förlängning) som nämnaren blir 1 och divisionen byts mot en multiplikation.

aⁿ/a = a^n-1
T ex a³/a = a²
Men också 1/a = a⁰/a = a^0-1 = a^-1

Fast jag vet inte om detta är "kruxet med den inverterade nämnaren".
Det är inget krux med den. Inga konstigheter, som du skrev.

Louis skrev:

Du skrev att man multiplicerar nämnaren, inte att man också multiplicerar täljaren. Det är ju genom att både täljare och nämnare multipliceras med den inverterade nämnaren som nämnaren blir 1 och divisionen byts mot en multiplikation.

aⁿ/a = a^n-1
T ex a³/a = a²
Men också 1/a = a⁰/a = a^0-1 = a^-1

Fast jag vet inte om detta är "kruxet med den inverterade nämnaren".
Det är inget krux med den. Inga konstigheter, som du skrev.

Jag ansåg att det var underförstått, men det är naturligtvis bra att du själv förtydligar förklaringen.

Det är hursomhelst säkerligen så att resonemanget kring $a^n/a=a^{n-1}$, som du förtydligar, är där kruxet med den inverterade nämnaren går att finna. Det är lyckosamt att du inte finner några konstigheter med den.

Är du ute efter något i stil med:

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}} = \frac{a}{b} * {\left(\frac{c}{d}\right)}^{-1} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c}$ ?

Då tycker jag att beviset från mitt första svar är enklare. Det lämnar inga konstigheter efter sig.

Och inverteringen ovan kräver väl, om den ska bevisas, precis samma förlängning med inverterad nämnare:

${\left(\frac{c}{d}\right)}^{-1} = 1/\left(\frac{c}{d}\right)$

så att inget var vunnet med att införa upphöjt till -1.