Inversens definitionsmängd

Hej!
Jag har en liten fundering kring denna uppgift på b). Jag har löst den förutom det absolut sista med att bestämma definitionsmängd och värdemängd till inversen.
Jag har fått fram inversen $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2} - 2}$ och jag kan ju enkelt se att den är definierad för $x \in ℝ$ , $x \neq \sqrt{2}$ men det jag undrar är att eftersom f är definierad för alla x>0, måste då definitionsmängden för inversen också vara för alla x>0 eller "följer den inte med"?
Jag vet att definitions- och värdemängden för inversen förhåller sig till f enligt: D_f=V_f^-1och V_f=D_f^-1

Och enligt hur de förhåller sig till varandra så borde ju definitionsmängen till f^-1 vara $x > \sqrt{2}$ eftersom det är värdemängen till f. Alltså är inversens definitionsmängd inte alla reella x, $x \neq \sqrt{2}$ , som är det första man tänker när man bara tittar på inversen.
Och då blir ju också värdemängden till inversen vara f^-1>0 om jag tolkar det rätt (dock osäker på notationen här).

Jag tycker det låter rimligt att det blir enligt hur de förhåller sig till varandra och inte enligt om man tittar på inversen med "färska" ögon som en egen funktion. Men jag kan ha uppfattat detta helt fel så vill dubbelkolla (blev inte klokare av att googla eller att kolla gamla uppgifter/föreläsningsanteckningar).

1. Definitionsområdet för en funktion och dess invers behöver inte ha något gemensamt med varandra. Det visar bl a ditt exempel. Ett annat ännu enklare ex: Sätt f(x)=1 för x=2 f är då inverterbar och inversen är f ^-1(y) = 2 för y=1. Definitionsområdena är här disjunkta.

2. Du har glömt att behandla värdet -sqr(2)

3. För din invers gäller f^-1(1)= -1 Alltså är INTE värdemängden f^-1>0

(Avsikten med elakheterna är att öka din förståelse)

Tomten skrev:
1. Definitionsområdet för en funktion och dess invers behöver inte ha något gemensamt med varandra. Det visar bl a ditt exempel. Ett annat ännu enklare ex: Sätt f(x)=1 för x=2 f är då inverterbar och inversen är f ^-1(y) = 2 för y=1. Definitionsområdena är här disjunkta.

2. Du har glömt att behandla värdet -sqr(2)

3. För din invers gäller f^-1(1)= -1 Alltså är INTE värdemängden f^-1>0

(Avsikten med elakheterna är att öka din förståelse)

1. Så jag ska bara strunta i värdemängen och definitionsmängden för f(x) helt då? Men varför finns då detta förhållandet ens angivet över huvud taget om det inte skulle vara konsekvent relevant hela tiden? Jag är inte helt med på varför värdemängden för f inte skulle vara definitionsmängden för f^-1, och tvärtom varför definitionsmängden för f inte skulle vara värdemängden för f^-1. Då dessa kommer ifrån att i en invers funktion byter variabeln och funktionens värde plats med varandra. Så jag har jättesvårt att se varför man inte skulle ta detta i beaktning. Och i detta fall eftersom vi redan fått en definitionsmängd för f så borde rimligtvis det vara värdemängden för f^-1.

2. Jag är fullt medveten att detta värde ej är med, men eftersom jag snöade in mig på x>0 så skulle ett värde på -sqrt(2) inte vara relevant. Eftersom f(x) endast är definierad för positiva x så skulle inte ett negativt värde för värdemängden för f ens kunna antas och därmed inte heller $- \sqrt{2}$ . Då detta värde är negativt.

3. Som i 2 så är detta ej undersökt eftersom jag snöade mig in på att definitionsmängden möjligtvis var $x > \sqrt{2}$ och då skulle inte 1 ingå i mängden (och därmed inte behöva undersökas).

Om du har en funktion f: A -> B, så är en invers, om den finns, en funktion f^-1: B -> A som uppfyller

$f \circ f^{- 1} = i d_{B}$

$f^{- 1} \circ f = i d_{A}$

id_X: X -> X, x $\mapsto$ x.

Det gäller att en funktion f har en invers om och endast om den är både injektiv och surjektiv .

I detta fall har vi att f är injektiv, men eftersom vi inte fått någon målmängd angiven, så kan vi inte uttala oss om huruvida f är surjektiv . Vad man brukar göra i sådana fall är att anta att målmängden för f sammanfaller med dess värdemängd. Funktionen blir då per automatik surjektiv. Om vi gör det, så blir det precis som du säger: Definitionsmängden till f^-1 är då lika med värdemängden till f.

Värdemängden till f verkar vara ( $\sqrt{2}, \infty$ ), så detta borde vara definitionsmängden till f^-1.

PATENTERAMERA skrev:
Om du har en funktion f: A -> B, så är en invers, om den finns, en funktion f^-1: B -> A som uppfyller

$f \circ f^{- 1} = i d_{B}$

$f^{- 1} \circ f = i d_{A}$

id_X: X -> X, x $\mapsto$ x.

Det gäller att en funktion f har en invers om och endast om den är både injektiv och surjektiv .

I detta fall har vi att f är injektiv, men eftersom vi inte fått någon målmängd angiven, så kan vi inte uttala oss om huruvida f är surjektiv . Vad man brukar göra i sådana fall är att anta att målmängden för f sammanfaller med dess värdemängd. Funktionen blir då per automatik surjektiv. Om vi gör det, så blir det precis som du säger: Definitionsmängden till f^-1 är då lika med värdemängden till f.

Värdemängden till f verkar vara ( $\sqrt{2}, \infty$ ), så detta borde vara definitionsmängden till f^-1.

Men då är väl värdemängden till f^-1 också definitionsmängden till f? Alltså f^-1>0?

Ja. f är ju inversen till inversen, så att säga. Så därför måste f^-1också vara injektiv och surjektiv. Så värdemängden till f^-1 är definitionsmängden till f.

PATENTERAMERA skrev:
Ja. f är ju inversen till inversen, så att säga. Så därför måste f^-1också vara injektiv och surjektiv. Så värdemängden till f^-1 är definitionsmängden till f.

Okej. Tack för hjälpen!

De nada.

värdemängden för inversen är definitionsmängden för funktionen. bör man då säga att det är då x skiljer sig från 0 och där rottecknet är större än noll eller lika med noll vilket ger att x ska vara större eller lika med -0,5?

mk4545 skrev:
värdemängden för inversen är definitionsmängden för funktionen. bör man då säga att det är då x skiljer sig från 0 och där rottecknet är större än noll eller lika med noll vilket ger att x ska vara större eller lika med -0,5?

Menar du att definitionsmängen för funktionen borde vara $x \neq 0$ och $\sqrt{2 + \frac{1}{x}} \geq 0$ ? Och att det blir $x \geq - \frac{1}{2}$ ?
Har lite svårt att tolka vad du skrev.

För definitionsmängden för funktionen är redan given i uppgiftslydelsen och är x>0. Funktionen är alltså endast definierad för positiva x.

jaha sorry, måste ha sett fel då. värdemängden till inversen måste isåfall vara (0,∞)? i och med att det är def.mängden för funktionen)

mk4545 skrev:
jaha sorry, måste ha sett fel då. värdemängden till inversen måste isåfall vara (0,∞)? i och med att det är def.mängden för funktionen)

Ja, precis så är det som jag har uppfattat det.

tackar tackar :D

Svara

Visa senaste svar