Inversen av funktionen (Matematik/Universitet)

Standardfråga 1a: Har du ritat? Det är vad jag skulle börja med, för att se om man kna få en invers i hela intervallet eller om man behöver begränsa intervallet där det finns en invers.

Andra raden är en vanlig andragradsekvation i x (med y som en konstant).

Hej,

Är du säker på att $y\neq0$ ? För det är förbjudet att dividera med noll.

Är funktionen $f$ inverterbar överallt i sin definitionsmängd?

Studera de delar av definitionsmängden där funktionen är strängt monoton.

Sebvin skrev:
Ska hitta inversen av funktionen f(x) = $\frac{3 - x}{x^{2} + 1}$
Eftersom kvadratroten ur x² ger två värden på x så saknas invers, men jag behöver hjälp med att lösa ut x.
Började så här,
$(x^{2} + 1) y = 3 - x x^{2} y + y = 3 - x x^{2} = \frac{3 - x}{y} - 1$

$y x^{2} + x + (y - 3) = 0$ och använd formeln $a x^{2} + b x + c = 0 \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 y (y - 3)}}{2 y}$

Kallaskull skrev:
Sebvin skrev:
Ska hitta inversen av funktionen f(x) = $\frac{3 - x}{x^{2} + 1}$
Eftersom kvadratroten ur x² ger två värden på x så saknas invers, men jag behöver hjälp med att lösa ut x.
Började så här,
$(x^{2} + 1) y = 3 - x x^{2} y + y = 3 - x x^{2} = \frac{3 - x}{y} - 1$
$y x^{2} + x + (y - 3) = 0$ och använd formeln $a x^{2} + b x + c = 0 \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 y (y - 3)}}{2 y}$

Detta ger dig två möjliga x-värden för ett givet y-värde. Inversen är en funktion och som sådan ska den bara ge ett x-värde för ett givet y-värde. Vilket av de två x-värdena ska man välja? Varför just det valet? Finns det mer än en invers funktion?

Albiki skrev:
Kallaskull skrev:
Sebvin skrev:
Ska hitta inversen av funktionen f(x) = $\frac{3 - x}{x^{2} + 1}$
Eftersom kvadratroten ur x² ger två värden på x så saknas invers, men jag behöver hjälp med att lösa ut x.
Började så här,
$(x^{2} + 1) y = 3 - x x^{2} y + y = 3 - x x^{2} = \frac{3 - x}{y} - 1$
$y x^{2} + x + (y - 3) = 0$ och använd formeln $a x^{2} + b x + c = 0 \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 y (y - 3)}}{2 y}$
Detta ger dig två möjliga x-värden för ett givet y-värde. Inversen är en funktion och som sådan ska den bara ge ett x-värde för ett givet y-värde. Vilket av de två x-värdena ska man välja? Varför just det valet? Finns det mer än en invers funktion?

Jo svarade bara på " behöver hjälp med att lösa ut x". Det är väl så att t.ex $x = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 y (y - 3)}}{2 y}$ (y=/=0) gäller för $y = \{0 < y \leq \frac{3}{2} - \sqrt{2}\} \cup \{y < 0\} \cup \{y \geq \frac{3}{2} + \sqrt{2}\}$ (funktionens domain)och $x = \{- 1 < x \leq 3 - 2 \sqrt{2}\} \cup \{1 < x < 3\} \cup \{3 < x \leq 3 + 2 \sqrt{2}\}$ (funktionens range)(från wolfram) alltså för en x i den övre mängden som genom f(x) ger en y i den övre gäller inversen?

Kallaskull skrev:
Albiki skrev:
Kallaskull skrev:
Sebvin skrev:
Ska hitta inversen av funktionen f(x) = $\frac{3 - x}{x^{2} + 1}$
Eftersom kvadratroten ur x² ger två värden på x så saknas invers, men jag behöver hjälp med att lösa ut x.
Började så här,
$(x^{2} + 1) y = 3 - x x^{2} y + y = 3 - x x^{2} = \frac{3 - x}{y} - 1$
$y x^{2} + x + (y - 3) = 0$ och använd formeln $a x^{2} + b x + c = 0 \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 y (y - 3)}}{2 y}$
Detta ger dig två möjliga x-värden för ett givet y-värde. Inversen är en funktion och som sådan ska den bara ge ett x-värde för ett givet y-värde. Vilket av de två x-värdena ska man välja? Varför just det valet? Finns det mer än en invers funktion?
Jo svarade bara på " behöver hjälp med att lösa ut x". Det är väl så att t.ex $x = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 y (y - 3)}}{2 y}$ (y=/=0) gäller för $y = \{0 < y \leq \frac{3}{2} - \sqrt{2}\} \cup \{y < 0\} \cup \{y \geq \frac{3}{2} + \sqrt{2}\}$ (funktionens domain)och $x = \{- 1 < x \leq 3 - 2 \sqrt{2}\} \cup \{1 < x < 3\} \cup \{3 < x \leq 3 + 2 \sqrt{2}\}$ (funktionens range)(från wolfram) alltså för en x i den övre mängden som genom f(x) ger en y i den övre gäller inversen?

Jag förstår inte vad du skriver om det du klippt och klistrat från Wolfram Alpha. Kan du förtydliga?

Detta är Sebvins tråd så om hen förstår vad du skrivit behöver du inte förklara din text för mig. Det är Sebvin som bestämmer.

Albiki skrev:
Detta är Sebvins tråd så om hen förstår vad du skrivit behöver du inte förklara din text för mig. Det är Sebvin som bestämmer.

Du är oändligt mycke bättre än mig på matematik skulle du kunna förklara för mig(och sebvin ifall hen inte vet) hur man tar sig vidare?(från det att man vet att y är två funktioner av x)

Kallaskull skrev:
Albiki skrev:
Detta är Sebvins tråd så om hen förstår vad du skrivit behöver du inte förklara din text för mig. Det är Sebvin som bestämmer.
Du är oändligt mycke bättre än mig på matematik skulle du kunna förklara för mig(och sebvin ifall hen inte vet) hur man tar sig vidare?(från det att man vet att y är två funktioner av x)

Det där har du fått baklänges - y = f(x) är en funktion! Det är x = f(y) som inte är EN funktion, utan två, för att uttrycka det lite omatematiskt.

Smaragdalena skrev:
Kallaskull skrev:
Albiki skrev:
Detta är Sebvins tråd så om hen förstår vad du skrivit behöver du inte förklara din text för mig. Det är Sebvin som bestämmer.
Du är oändligt mycke bättre än mig på matematik skulle du kunna förklara för mig(och sebvin ifall hen inte vet) hur man tar sig vidare?(från det att man vet att y är två funktioner av x)
Det där har du fått baklänges - y = f(x) är en funktion! Det är x = f(y) som inte är EN funktion, utan två, för att uttrycka det lite omatematiskt.

That I know, var lite full när jag skrev

Kallaskull skrev:
Smaragdalena skrev:
Det där har du fått baklänges - y = f(x) är en funktion! Det är x = f(y) som inte är EN funktion, utan två, för att uttrycka det lite omatematiskt.
That I know, var lite full när jag skrev