Inverse of a permutation.

Menar du inversen av (AB)(CDE), eller (AB) gånger inversen av (CDE), när du skriver (AB)(CDE)^-1?

Laguna skrev:

Menar du inversen av (AB)(CDE), eller (AB) gånger inversen av (CDE), när du skriver (AB)(CDE)^-1?

Det sistnämnda

Buuump

För att beräkna inversen av en produkt av icke-disjunkta cykler (det finns alltså element som finns i flera av cyklerna) kan vi så klart börja med att skriva det som en produkt av disjunkta cykler och sedan beräkna inversen. I fallet med $(A\ B\ C)(D\ E\ C)$ öppnar vi parentesen och skriver ett $A$:

$(A$

sedan kollar till vilket element $A$ sammankopplas i cykeln. Den högra cykeln innehåller inget $A$, alltså hamnar $A\to \color{red}A$. Då stoppar vi in $\color{red}A$ i den vänstra cykeln och hamnar på $B$, alltså får vi sammantaget att $A\to B$ och skriver $B$ som nästa bokstav i parentesen:

$(A\ B$

Nu ser vi vart $B$ hamnar. Den högra cykeln ger $B\to\color{red}B$ och den vänstra sedan $\color{red}B\color{black}\to C$, d.v.s. $B\to C$:

$(A\ B\ C$

Den högra ger $C\to\color{red}D$ och den vänstra $\color{red}D\color{black}\to D$, d.v.s. $C\to D$

$(A\ B\ C\ D$

Nu upprepar vi proceduren tills vi inser att $E\to A$. Då avslutar vi parentesen, och alltså får vi:

$(A\ B\ C)(D\ E\ C)=(A\ B\ C\ D\ E)$

Nu kan vi enkelt hitta inversen:

$(A\ B\ C\ D\ E)^{-1}=(E\ D\ C\ B\ A)$

Men, man behöver faktiskt inte nödvändigtvis skriva cykeln som en produkt av disjunkta cykler, den "vanliga metoden" fungerar ändå, bara man är noga med att även byta plats på cyklerna i produkten (d.v.s. cykeln längst till vänster skall hamna längst till höger och tvärt om). I fallet med $((A\ B\ C)(D\ E\ C))^{-1}$ får vi:

$\left(\left(A\ B\ C\right)\left(D\ E\ C\right)\right)^{-1}=\underbrace{(D\ E\ C)^{-1}(A\ B\ C)^{-1}}_{\text{ordningen bytt!}}=\left(C\ E\ D\right)\left(C\ B\ A\right)=\left(A\ E\ D\ C\ B\right)$

och eftersom vi kan förskjuta allting i en cykel utan att ändra på den ser vi att $(A\ E\ D\ C\ B)=(E\ D\ C\ B\ A)$ och att båda metoderna ger samma svar.

AlvinB skrev:

För att beräkna inversen av en produkt av icke-disjunkta cykler (det finns alltså element som finns i flera av cyklerna) kan vi så klart börja med att skriva det som en produkt av disjunkta cykler och sedan beräkna inversen. I fallet med $(A\ B\ C)(D\ E\ C)$ öppnar vi parentesen och skriver ett $A$:

$(A$

sedan kollar till vilket element $A$ sammankopplas i cykeln. Den högra cykeln innehåller inget $A$, alltså hamnar $A\to \color{red}A$. Då stoppar vi in $\color{red}A$ i den vänstra cykeln och hamnar på $B$, alltså får vi sammantaget att $A\to B$ och skriver $B$ som nästa bokstav i parentesen:

$(A\ B$

Nu ser vi vart $B$ hamnar. Den högra cykeln ger $B\to\color{red}B$ och den vänstra sedan $\color{red}B\color{black}\to C$, d.v.s. $B\to C$:

$(A\ B\ C$

Den högra ger $C\to\color{red}D$ och den vänstra $\color{red}D\color{black}\to D$, d.v.s. $C\to D$

$(A\ B\ C\ D$

Nu upprepar vi proceduren tills vi inser att $E\to A$. Då avslutar vi parentesen, och alltså får vi:

$(A\ B\ C)(D\ E\ C)=(A\ B\ C\ D\ E)$

Nu kan vi enkelt hitta inversen:

$(A\ B\ C\ D\ E)^{-1}=(E\ D\ C\ B\ A)$

Men, man behöver faktiskt inte nödvändigtvis skriva cykeln som en produkt av disjunkta cykler, den "vanliga metoden" fungerar ändå, bara man är noga med att även byta plats på cyklerna i produkten (d.v.s. cykeln längst till vänster skall hamna längst till höger och tvärt om). I fallet med $((A\ B\ C)(D\ E\ C))^{-1}$ får vi:

$\left(\left(A\ B\ C\right)\left(D\ E\ C\right)\right)^{-1}=\underbrace{(D\ E\ C)^{-1}(A\ B\ C)^{-1}}_{\text{ordningen bytt!}}=\left(C\ E\ D\right)\left(C\ B\ A\right)=\left(A\ E\ D\ C\ B\right)$

och eftersom vi kan förskjuta allting i en cykel utan att ändra på den ser vi att $(A\ E\ D\ C\ B)=(E\ D\ C\ B\ A)$ och att båda metoderna ger samma svar.

Så egentligen bara spegelvändning? vi tar ett ex igen??

(ABC)(DEF)(GIH) då är dess invers: 

(HIG)(FED)(CBA) ??

Ja.

AlvinB skrev:

Ja.

woop!