inversa trigonometriska derivator

Detta är en implicit definierad kurva.
Det betyder att det inte går att bryta ut $y$ som ett explicit uttryck $y =\hspace{0.17em}f\left(x\right)$.
Ändå är detta en kurva som består av alla punkter $\left(x, y\right)$ som uppfyller uttrycket.
Du kan själv verifiera att punkten $\left(1, 2\right)$ ligger på kurvan.

För att kunna hitta lutningen på en sådan kurva måste man först derivera båda sidor.
Detta kommer antagligen leda till att derivatan $y\text{'}$ dyker upp på mer än ett ställe.
Sedan får du försöka bryta ut derivatan så att $y\text{'} = g(x, y)$.
Nu kan du sätta in den punkt som frågan var intresserad av.

jarenfoa skrev:

Detta är en implicit definierad kurva.
Det betyder att det inte går att bryta ut $y$ som ett explicit uttryck $y =\hspace{0.17em}f\left(x\right)$.
Ändå är detta en kurva som består av alla punkter $\left(x, y\right)$ som uppfyller uttrycket.
Du kan själv verifiera att punkten $\left(1, 2\right)$ ligger på kurvan.

För att kunna hitta lutningen på en sådan kurva måste man först derivera båda sidor.
Detta kommer antagligen leda till att derivatan $y\text{'}$ dyker upp på mer än ett ställe.
Sedan får du försöka bryta ut derivatan så att $y\text{'} = g(x, y)$.
Nu kan du sätta in den punkt som frågan var intresserad av.

Okej tusen tack så mycket,förstod att det var implicit derivering som krävdes på arctan, men hur kan man förstå att det krävs att man deriverar båda sidor? Vad tillför högeleder till kurvan ? 

Om det hjälper dig så kan du tänka dig den implicita funktionen definierad så här:

$f\left(x, y\right) = VL(x, y) - HL(x, y) =\hspace{0.17em}{\tan }^{-1}\left(\frac{2x}{y}\right) - \frac{\mathrm{\pi x}}{y^2} =\hspace{0.17em}0$

Ser du nu att det blir en helt annan definition, och därför en annan kurva, om vi inte tog med högerledet (HL)?

Man deriverar alltid båda sidor, även om man kanske inte tänker på det så. Algebra säger att om vi multiplicerar båda sidor med en faktor, eller adderar en faktor, eller höjer upp båda sidor, så gäller fortfarande att $VL\hspace{0.17em}= HL$. På samma sätt kan man applicera operatorn $\frac{d}{dx}$ på båda sidor och bevara likheten.

Låt oss säga att vi har en kurva $y =\hspace{0.17em}a{x}^2 + bx + c$.
Deriverar vi $VL$ får vi $y\text{'}$.
Deriverar vi $HL$ får vi $2ax + b$.
Eftersom $VL\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}HL$ före deriveringen måste de vara lika även efter deriveringen.
Det är därför vi kan säga att $y\text{'} =\hspace{0.17em}2ax + b$.

I detta explicita fall står $y\text{'}$ ensam i $VL$.
I ett implicit fall skulle $y\text{'}$ inte stå ensam. 
Vad som alltid gäller är att om $VL = HL$ så är även $\frac{d}{dx}\left(VL\right) = \frac{d}{dx}\left(HL\right)$

jarenfoa skrev:

Om det hjälper dig så kan du tänka dig den implicita funktionen definierad så här:

$f\left(x, y\right) = VL(x, y) - HL(x, y) =\hspace{0.17em}{\tan }^{-1}\left(\frac{2x}{y}\right) - \frac{\mathrm{\pi x}}{y^2} =\hspace{0.17em}0$

Ser du nu att det blir en helt annan definition, och därför en annan kurva, om vi inte tog med högerledet (HL)?

Man deriverar alltid båda sidor, även om man kanske inte tänker på det så. Algebra säger att om vi multiplicerar båda sidor med en faktor, eller adderar en faktor, eller höjer upp båda sidor, så gäller fortfarande att $VL\hspace{0.17em}= HL$. På samma sätt kan man applicera operatorn $\frac{d}{dx}$ på båda sidor och bevara likheten.

Låt oss säga att vi har en kurva $y =\hspace{0.17em}a{x}^2 + bx + c$.
Deriverar vi $VL$ får vi $y\text{'}$.
Deriverar vi $HL$ får vi $2ax + b$.
Eftersom $VL\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}HL$ före deriveringen måste de vara lika även efter deriveringen.
Det är därför vi kan säga att $y\text{'} =\hspace{0.17em}2ax + b$.

I detta explicita fall står $y\text{'}$ ensam i $VL$.
I ett implicit fall skulle $y\text{'}$ inte stå ensam. 
Vad som alltid gäller är att om $VL = HL$ så är även $\frac{d}{dx}\left(VL\right) = \frac{d}{dx}\left(HL\right)$

okej tusen tack för förklaringen !!