invers till negativa tal

Det är ofta en användbar strategi att först lösa ett problem på ett väldigt primitivt sätt som ändå fungerar och sedan därefter se om man kan optimera strategin.

När det kommer till att hitta delare till ett heltal 137 kan det exempelvis vara så att man bara löper igenom alla tal 1,2,3,... och ser om de delar talet men därefter så optimerar man det hela genom att endast deta att dela talet med primtal 2,3,5,7,... och kombinera primtalen till delare vilket går snabbare. 

Från ett rent operativt perspektiv kan man finna det minsta positiva talet som har samma rest som ett negativt tal genom att successivt addera 25 tills dess att man landar på ett positivt värde

$-209 \equiv -184 \equiv -159 \equiv -134 \equiv -109 \equiv -84 \equiv -59 \equiv -35 \equiv -9 \equiv 16$

Detta eftersom 

$a \equiv a + 25 \pmod{25}$

Kan vi hitta något sätt att hantera den här upprepade additionen på ett effektivare sätt?

men jag förstår inte eftersom svaret ska bli $\left(\begin{array}{cc}16& 6\\ 17& 16\end{array}\right)$ så ska ju -209 bli 6 och inte 16

För att få fram 16 kan vi ta 9*25-209=16 dvs vi multiplicerar 25 tills vi kommer få en positiv rest efter att subtrahera 209

Hmm,ja om jag ska vara helt ärlig så är jag inte med på själva huvudfrågan och lösningsmetoden utan adresserad bara delfrågan om additiva inverser eftersom jag hade svårigheter att följa logiken.

Du verkar använda symboliska formeln för en 2x2-matris invers för matriser med reella element, $\mathbb{R}^{2 \times 2}$, och därefter ersätter reel division med modulär divison och tar resten av alla element. Detta är absolut en plan men är du säker på att denna metod överhuvudtaget är giltig för att ta fram inverser i

$\mathbb{Z}_{25}^{2 \times 2}$ ?