Invers till en matris

Kika på matrisens determinant! Om determinanten är nollskild finns en invers. :)

Det finns många villkor som är ekvivalenta med att en matris $A$ är inverterbar. Här är några:

1. Ekvationssystemet $AX=B$ har en unik lösning för varje högerled $B$.
2. Kolonnvektorerna i $A$ är linjärt oberoende.
3. Radvektorerna i $A$ är linjärt oberoende.
4. $\det(A)\neq0$.
5. $A$ har full rang.
6. $A$ har inte egenvärdet $\lambda=0$.

Egenskaperna är användbara i olika sammanhang, beroende på vad man vet (eller vad man enkelt kan ta reda på) om matrisen $A$. Tar vi exempelvis matrisen

$A=\begin{bmatrix}1&2&3&4 \\ 1&2&3&4 \\ 7&3&2&1 \\ -1&1&1&1\end{bmatrix}$

ser vi att de två översta raderna är linjärt beroende (de är till och med identiska!). Enligt villkor 3 har då matrisen ingen invers.

Vill vi visa att en matris verkligen har invers kan det vara gynnsamt att beräkna determinanten (eftersom vi inte alltid kan se linjärt oberoende med blotta ögat) och visa att den är nollskild. Tar vi exempel matrisen

$A=\begin{bmatrix}1&7&2\\-1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}$

och t.ex. med hjälp av Sarrus regel beräknar determinanten till $\det(A)=64$ ser vi att determinanten inte är noll, och då ger villkor 4 att det finns en invers.