Invers funktion (Matematik/Matte 3)

Att den inte är inverterbar innebär att det inte finns någon invers. Det betyder ungefär att det inte blir möjligt att svara på frågan:

Vi vet att g(x) = y vad är då x.

Att den inte är inverterbar innebär alltså att vi inte kan ge ett unikt svar på frågan ovanför för alla y. Exempel med din fråga så om vi vet att $x^2 + 1 = 10$ så kan vi ha att $x = 3$ eller $x = -3$ , vilket inte är ett unikt svar, därför är den inte inverterbar.

så det finns ingen invers till g(x) då :).....

Brukar man inte kalla $g^{- 1} (x) r e s t r i k t i o n e n a v g (x) g (x) f ö r u t v i d g n i n g e n a v g^{- 1} (x)$

Vad innebär dem begreppen? typ falska inversen av .....

Fast roten ur betyder väl att x antingen kan vara "-3" eller "3"? Då medförs väl bara ett y-värde som är inom funktionens definiton?

Du måste alltså ha en exakt en lösning för alla y inom funktionens målmängd. (Den lösningen måste finnas i definitionsmängden för funktionen).

Så om definitionsmängden för $g$ är hela $\mathbb{R}$ och målmängden är alla icke negativa reella tal. Då har du alltså inte en unik lösning på exempelvis $x^2 + 1 = 10$ . Detta eftersom både $-3$ och $3$ ligger i definitionsmängden för $g$ . Om definitionsmängden är alla icke negativa reella tal, då kan vi utesluta $-3$ och har därmed en unik lösning.

Jag har aldrig hört talas om termerna restriktionen/utvidgningen i det sammanhang du har här.

Stokastisk skrev :
Jag har aldrig hört talas om termerna restriktionen/utvidgningen i det sammanhang du har här.

Menar han inte typ det här:

$f (x) = x^{2}, x \geq 0$

Är inte det en restriktion av funktionen?

Tigster skrev :
Stokastisk skrev :
Jag har aldrig hört talas om termerna restriktionen/utvidgningen i det sammanhang du har här.
Menar han inte typ det här:
$f (x) = x^{2}, x \geq 0$
Är inte det en restriktion av funktionen?

Det var det jag menade, framgick inte ;) Tack

Okej, ja man kan nog se det som en restriktion.

Men notera att när du har en funktion, så har den även en definitionsmängd och en målmängd. Detta är alltså något som tillhör själva funktionen. Säg att vi har $f(x) = x^2$ med definitionsmängden "alla icke negativa reella tal" och funktionen $g(x) = x^2$ med definitionsmängden "alla reella tal". Detta är två olika funktioner även om själva formeln för funktionen ser likadan ut.

1PLUS2 skrev :
Tigster skrev :
Stokastisk skrev :
Jag har aldrig hört talas om termerna restriktionen/utvidgningen i det sammanhang du har här.
Menar han inte typ det här:
$f (x) = x^{2}, x \geq 0$
Är inte det en restriktion av funktionen?
Det var det jag menade, framgick inte ;) Tack

Eftersom $f(x)=x^2, x\geq 0$ är injektiv så kommer den ha en invers.

woozah skrev :
1PLUS2 skrev :
Tigster skrev :
Stokastisk skrev :
Jag har aldrig hört talas om termerna restriktionen/utvidgningen i det sammanhang du har här.
Menar han inte typ det här:
$f (x) = x^{2}, x \geq 0$
Är inte det en restriktion av funktionen?
Det var det jag menade, framgick inte ;) Tack

Eftersom $f(x)=x^2, x\geq 0$ är injektiv så kommer den ha en invers.

Här måste man vara mer försiktig.

Notera alltså att vad målmängden är inte framgår. Om $f$ har målmängden $\mathbb{R}$ så har den inte en invers. Om den däremot är $\lbrace x : x \ge 0\rbrace$ så är den inverterbar.

Det spelar inte så stor roll i detta fall eftersom man bara kan säga att målmängden ska vara lika med värdemängden, det finns däremot fall där det spelar större roll.

Men kan man skriva $g^{- 1} (x) = \sqrt{x - 1} ?$

För vad jag har förstått så är x=y, men det känns som det kanske gör detta krångligt?

Jag vet att vissa löser enbart ut x, jag har i exemplet ovan bytt plats på x och y. Detta pga att jag inte vill få två variabler när jag kör sammansatta funktioner.

Annars vet jag att vissa löser ut x och får: $g^{- 1} (x) = \sqrt[]{y - 1}$ , det känns mer logiskt då jag isåfall får y1 och y2/ dvs två y-värden som medför att det inte är en funktion.

Det är felaktigt att skriva

$g^{-1}(x) = \sqrt{y - 1}$

Detta skulle vara på sin höjd någon konstant funktion där y är någon okänd konstant. Det korrekta är att skriva

$g^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$

(Om nu detta är inversen)

Man däremot komma fram till inversen genom att ställa upp ekvationen

$y = x^2 + 1$

och nu lösa ut att

$x = \sqrt{y - 1}$

Då måste man dock tänka på att här är $y$ den oberoende variabeln och $x$ är den beroende (man brukar oftast ha tvärtom). Att man fått denna lösning betyder inte att man ska skriva funktionen med ett y istället för ett x, utan man skriver den som vanligt, alltså $g^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$ .

Stokastisk skrev :
woozah skrev :
1PLUS2 skrev :
Tigster skrev :
Stokastisk skrev :
Jag har aldrig hört talas om termerna restriktionen/utvidgningen i det sammanhang du har här.
Menar han inte typ det här:
$f (x) = x^{2}, x \geq 0$
Är inte det en restriktion av funktionen?
Det var det jag menade, framgick inte ;) Tack

Eftersom $f(x)=x^2, x\geq 0$ är injektiv så kommer den ha en invers.
Här måste man vara mer försiktig.
Notera alltså att vad målmängden är inte framgår. Om $f$ har målmängden $\mathbb{R}$ så har den inte en invers. Om den däremot är $\lbrace x : x \ge 0\rbrace$ så är den inverterbar.
Det spelar inte så stor roll i detta fall eftersom man bara kan säga att målmängden ska vara lika med värdemängden, det finns däremot fall där det spelar större roll.

Ja, det är sant. Den måste också vara surjektiv. Jag var lite slarvig.