Invers funktion

g(x) är en kopia av f(x), men skiftad 2 steg i y-led.

Är g(x) då inverterbar?

Dr. G skrev:

g(x) är en kopia av f(x), men skiftad 2 steg i y-led.

Är g(x) då inverterbar?

Jag är med på det första, tänkte likadant. 

Jag tänker att den inte är det, för den hoppar iväg från f. 
Men sen tänker jag att det inte spelar någon roll, sålänge det är entydigt bestämt. 

Jag vet inte

Som vanligt, rita!

Rita upp en funktion som är inverterbar, d v s att det bara finns ett y-värde för varje x-värde (annars hade det inte varit en funktion) och det bara finns ett x-värde för varje y-värde (annars hade funktionen inte varit inverterbar). Ta sedan en annan färg p pennan och rita en kopia av den första funktionen, men två rutor högre upp. Det kommer fortfarande bara finnas ett y-värde för varje x (det är fortfarande en funktion). Kommer det fortfarnade bara finnas ett x-värde för varje y? Om mdu behäver mer hjälp: Lägg upp din bild här, så kan vi diskutera utifrån den.

Att rita ger god intuition.

Man kan även försöka lösa den lite mer algebraiskt.

Antag att g har en invers. Det gäller då att

x = g(g^-1(x)) = f(g^-1(x)) - 2

f(g^-1(x)) = x + 2

f^-1(f(g^-1(x))) = f^-1(x+2)

g^-1(x) = f^-1(x+2).

Så om g har en invers så måste det gälla att g^-1(x) = f^-1(x+2).

Så det återstår bara att visa att detta faktiskt är inversen till g. Dvs vi måste visa att g(g^-1(x)) = g^-1(g(x)) = x. Det får bli en övning.

Man kan också notera att om vi inför funktionen h(x) = x - 2, vilken har den uppenbara inversen h^-1(x) = x + 2, så gäller det att g(x) = (h$\circ$f)(x). Så g är sammansättningen av två inverterbara funktioner och därför inverterbar. ((h$\circ$f)^-1 = $f^{-1}\circ h^{-1}$)

Tack för era svar, pausar denna uppgift nu. Återupptar om en månad