Invers funktion

$(1+\sqrt{x})h(x) = 1-\sqrt{x}$

$h(x)-1 = \sqrt{x}(-1-h(x))$ osv.

Laguna skrev:

$(1+\sqrt{x})h(x) = 1-\sqrt{x}$

$h(x)-1 = \sqrt{x}(-1-h(x))$ osv.

Ahh, nice! Tack

Jag fick samma svar som facit.
Däremot svarar facit även med  en definitionsmängd, varför då? 

Facit: $h^{-1}\left(x\right)=\frac{{\left(1-x\right)}^2}{{\left(1+x\right)}^2}, -1<x\le 1$
Jag förstår att det inte får vara -1. Men varför just den definitionsmängden till inversen? 
Har det att göra med att Definitionsmängden i ursprungliga funktionen blir till inversens värdemängd i nästa funktion?

Inversens definitionsmängd är värdemängden till den ursprungliga funktionen.

PATENTERAMERA skrev:

Inversens definitionsmängd är värdemängden till den ursprungliga funktionen.

Ja, värdemängden till ursprungsfunktionen är ganska stor.
Men eftersom inversfunktionen INTE kan anta negativa värden så får vi bara en bit av värdemängden? Därmed måste vi anpassa definitionsmängden på inversfunktionen, right ?

Nja, som jag sa, inversens h^-1 definitionsmängd är h:s värdemängd. Tänk efter vad en invers gör. h^-1(h(x)) = x.

Tillägg: 27 feb 2024 11:32

PATENTERAMERA skrev:

Nja, som jag sa, inversens h^-1 definitionsmängd är h:s värdemängd. Tänk efter vad en invers gör. h^-1(h(x)) = x.

---

Tillägg: 27 feb 2024 11:32

Ja, men varken definitionsmängden eller värdemängden i ursprungsfunktionen är $-1<x\le 1$

En del av värdemängden från ursprungsfunktionen blir till definitionsmängden i h^-1. Hur ska jag avgöra vilken del ?

Jag kan se i ett koordinatsystem att den inte är inverterbar efter x=1, för den speglar inte längre i y=x då. Men hur ska jag komma fram till det algebraiskt? 

Värdemängden för h är (-1, 1]. h(0) = 1. Funktionen är strikt avtagande och går mot -1 då x går mot oändlighet.

PATENTERAMERA skrev:

Värdemängden för h är (-1, 1]. h(0) = 1. Funktionen är strikt avtagande och går mot -1 då x går mot oändlighet.

 

Ja det är sant. (facepalm) 

Hur ska jag veta att gränsvärdet är -1 för funktionen  då x går mot inf höger? (Antag att man ej får rita)

$\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=\frac{1/\sqrt{x}-1}{1/\sqrt{x}+1}$ -> $\frac{0-1}{0+1}=-1$, då x -> $\infty$.

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=\frac{1/\sqrt{x}-1}{1/\sqrt{x}+1}$ -> $\frac{0-1}{0+1}=-1$, då x -> $\infty$.

Yepp, jag förstår. Jag gillar inte den här boken, tack