Invers fouriertransform

Jag ska beräkna $F^{- 1} {(ω + 1)}^{6} .$

Uttrycket kan skrivas om $F^{- 1} {(ω + 1)}^{6} = F^{- 1} {(ω - (- 1))}^{6} .$

Här tänker jag att man kan förenkla bort förskjutningen med hjälp av regeln som säger att $\hat{e^{i a t} f (t)} = F (ω - a),$ där $a = - 1$ .

Detta ger att $F^{- 1} {(ω - (- 1))}^{6} = e^{- i t} F^{- 1} ω^{6} .$

För att får fram inversen $F^{- 1} ω^{6}$ så beräknar jag istället transformationen $\hat{ω^{6}} (t)$ och omvandlar via sambandet $F^{- 1} F (ω) = \frac{1}{2 π} \hat{F (ω)} (- t)$ .

Jag får att $\hat{ω^{6}} (t) = - 2 π δ^{(6)} (t) .$

Och inversen blir då $F^{- 1} (ω^{6}) = \frac{1}{2 π} (- 2 π δ^{(6)} (- t)) = - δ^{(6)} (t) .$

Slutligen får jag alltså att $F^{- 1} {(ω + 1)}^{6} = - e^{- i t} δ^{(6)} (t)$

Facit tycker att man ska använda binomialsatsen, så de får ju 7 termer med olika med olika derivator av delta.

Hur kan det bli annorlunda? Var har jag tänkt fel?

Jag har inte kontrollräknat igenom din lösning, men det är inte alls feltänkt fast man borde vara lite extra försiktig med fasförskjutningsreglerna när man arbetar med "generaliserade funktioner" (detta begrepp är tyvärr grovt missvisande). Ditt svar kan nämligen skrivas om som 7 termer med olika derivator av delta. Man behöver dock tänka på att delta inte är en funktion utan en (tempererad) distribution, vilket innebär att man måste se upp vid beräkningar av dess derivator:

Antag att u(t) är en godtycklig funktion i schwartzrummet (d.v.s. en snabbt avtagande slät funktion, se gärna wiki). Då är

$\langle \delta^{(6)}(t), -e^{-it} u(t) \rangle = (-1)^6 \langle \delta(t), (-e^{-it} u(t))^{(6)} \rangle$

Enligt den upprepade produktregeln (se gen. Leibniz formel på wiki) så får man att

$(-e^{-it} u(t))^{(6)} = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-e^{-it})^{(6-k)} u^{(k)}(t) = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-i)^{6-k} (-e^{-it}) u^{(k)}(t)$

Därmed blir

$\langle \delta(t), (-e^{-it} u(t))^{(6)} \rangle = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} (-i)^{6-k} (-e^{-i0}) u^{(k)}(0) = -\sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} i^{k-6} u^{(k)}(0)$

vilket nu kan uttryckas m.h.a. olika derivator av delta då

$u^{(k)}(0) = \langle \delta(t), u^{(k)}(t) \rangle = (-1)^k \langle \delta^{(k)}(t), u(t) \rangle$

Sammanlagt:

$"-e^{-it} \delta^{(6)}(t)" = \sum_{k=0}^6 \binom{6}{k} i^{k-6} (-1)^{k+1} \delta^{(k)}(t)$

(Anm: Jag hoppas att jag inte tappat bort minustecken någonstans på vägen.)

Svara