invers
Hej
jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift:
Låt G = \ (1) och definiera en kompositionsregel * på G enligt a*b=a+b-ab. Visa att (G,*) är en grupp. Ange också vilket element i G som är neutralt med avseende på *, samt en formel för inversen till a till ett element a i G.
Så om jag har uppfattat det rätt så ska vi först ta reda på ett neutralt element i G. Eftersom vi har mängden av alla reella tal R kan väl vårat neutrala element vara 0.
Det jag har mer problem med är att hitta formeln till inversen.
Hur motiverar du att 0 ska vara enhetselementet? Det följer inte bara för att vi har reella tal. (Jag antar att gruppen ska vara G = R \ {1}?). Om b ska vara en invers till a så ska det alltså gälla att
a*b = b*a = 0 (lika med enhetselementet)
Du behöver alltså lösa ekvationen
a*b = 0, =>
a + b - ab = 0
okej så a*b=0 är ju enkelt att se att vi kan få om antingen a eller b är 0
a+b-ab=0 innebär att både a och b måste vara 0
Fast om e är enhets elementet så ska det gäll att a*e = e*a = a för alla a. Tänk också på att a*b inte är vanlig multiplikation!
I ekvationen a + b - ab = 0 så är a känd och b okänd, så du ska alltså lösa ut b och det gäller inte att a och b måste vara noll.
