Invers

Visa att $g (x) = \sqrt{2 x + 1}$ är inverterbar. I boken står det att om en funktion är inverterbar så finns det bara ett unikt värde på y för varje unikt värde på x. De visar då att g(x) är sådan genom $\begin{array}{l} g (x_{1}) = g (x_{2}) \Rightarrow \sqrt{2 x_{1} + 1} = \sqrt{2 x_{2} + 1} \\ x_{1} = x_{2} \end{array}$

därmed inverterbar.

Men nu till problemet, om vi tar en funktion $f (x) = x^{2}$ som inte är inverterbar, och använder samma bevis för att kontrollera om funktionen är inverterbar så får vi.

$\begin{array}{l} f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1}^{2} = x_{2}^{2} \\ | x_{1} | = | x_{2} | \end{array}$

Är inte detta samma sak som för g(x)? Hur bevisar vi att f(x) inte är inverterbar?

För att en funktion ska vara inverterbar så ska det ju finnas endast ett unikt y-värde för varje x. Om vi tar $f (x) = x^{2}$ som exempel så är det ju sant att $f (- 1) = f (1), f (- 2) = f (2) o s v . . .$ Alltså två olika x-värden ger samma funktionsvärde, vilket strider mot villkoret. Angående $g (x)$ så har vi roten ur ett uttryck, och det är bara definerat för alla $x \geq 0$ . Så det räcker nog för att visa att den är inverterbar.

Hej!

Du måste definiera vad din definitionsmängd (och värdemängd) är, annars kan man inte riktigt prata om inversen.

Exempelvis så är funktionen $f:\left(0,+\infty\right)\to \left(0,+\infty\right), f(x)=x^2$ inverterbar.

Moffen skrev:
Hej!

Du måste definiera vad din definitionsmängd (och värdemängd) är, annars kan man inte riktigt prata om inversen.

Exempelvis så är funktionen $f:\left(0,+\infty\right)\to \left(0,+\infty\right), f(x)=x^2$ inverterbar.

Det har du rätt i men om vi pratar om $D_f=x \epsilon \mathbb{R}$

Duger beviset $f'(x)=2x,f'(-1)=-2<0,f'(1)=2>0$ alltså funktionen f(x) är varken strikt växande eller avtagande i definitionsmängden därmed icke inverterbar.

Cien skrev:
Duger beviset $f'(x)=2x,f'(-1)=-2<0,f'(1)=2>0$ alltså funktionen f(x) är varken strikt växande eller avtagande i definitionsmängden därmed icke inverterbar.

Visst, men själv tycker jag att det är lättare att bara visa att $f(-1)=f(1)=1$ , och alltså finns ingen invers (för då skulle inversen behöva skicka $1$ till $-1$ och $1$ , och då är det inte en funktion).

Om vi tar en annan funktion $f(x)=x^3-27,D_f=\mathbb{R}$ , om man ritar funktionen i x-y-planet så ser den ut att vara inverterbar då linjaltestet verkar skära funktionen endast 1 gång för varje värde på x och y (osäker där x=0).

Om jag nu deriverar $f'(x)=3x^2$ så får vi här igen att den är avtagande för $x<0$ och växande för $x \geq 0$ därmed ej inverterbar?

3x2 kan du väl aldrig få till något annat än positivt?

Micimacko skrev:
3x2 kan du väl aldrig få till något annat än positivt?

Oj, jag tänkte grafiskt när jag skrev avtagande resp växande. Så den måste vara inverterbar då derivatan är strikt växande för alla värden på x i definitionsmängden?

Ja den är inverterbar

Svara

Visa senaste svar