Invånartalet i en förort till los angeles deriveringsregeluppgift

ChristopherH skrev:

Invånarantalet i en förort till Los Angeles ökar under en period exponentiellt med tiden. För tio år sedan hade förorten 85000 invånare. Nu bor där 102 000 personer

a) Bestäm exponentialfunktion med basen e som beskriver invånarantalet under tioårsperioden

 

b) Efter hur många år, räknat från i dag, kommer invånartalet att öka med 3000 personer per år, om vi antar att befolkningen fortsätter att öka på samma sätt?

 

Mitt problem är att ställa upp ekvationerna själv 

Mitt svar:

a) 85000e^10x = 102000

Du kan ju använda x men blir lite förvirrande eftersom 10 "egentligen" är ditt x-värde (iaf senare i uträkningen). Utgå alltså istället från y = Ce^kx och skriv:

C=startbefolkning i tusental, y= befolkning i tusental, x är år efter starttiden (10 år sedan) och k är konstanten som avgör förändringshastigheten

=> 102 = 85e^k10 (lös ut k) 

(som du gör nedan men du gör det felaktigt)

=>

e^10x =  ln102(tusen)/85(tusen)

=>

10x = ln1.2(tusen)

=>

x=0.12(tusen)

Ser inte riktigt vad du gjort här men ln(1,2)/10 får jag iaf till 0,018.

Alltså har vi nu y=85e^0,018x som funktion. 

b) 

Eftersom idag så har vi 102000 personer och den ökar med förändringsfaktor 0.12x

e^0.12x x 85000 = f(p)

Förstår inte detta steg.

för att veta hur många personer per år som det växer 3000personer per år så använder man derivata.

Korrekt beslut att använda derivata

=>

0.12e^0.12x x 85000 = 3000 (tangentens lutning ska vara 3000)

Förstår fortfarande inte här vad du försöker göra när du multiplicerar derivaran med 85000.

=>

10200e^0.12x = 3000 (dividera 3000 med 10200)

=>

e^0.12x = 3000/10200 = 0.29

=>

e^0.12x = 0.29

=>

lne^0.12x = ln0.29

=>

0.12x = ln0.29

=> 

ln0.29/0.12

=> 

2.4 år?

 

Vad har jag gjort fel?

y=85e^0,018x 

y'= 1,53e^0,018x

Vi vill veta vilket år ökningen är 3000 per år, dvs när derivatan är 3000. Eftersom jag mäter allt i tusental blir det 3 för mig:

1,53e^0,018x = 3

e^0,018x = 3/1,53 = 1,96

0,018x = ln(1,96)

x ≈ 37,4 (år efter idag)

Eftersom vår funktion är baserad på startåret 10 år sedan blir svaret på frågan som räknar från idag:

37,4-10=27,4 ≈ 27 år

(att det inte blir exakt enligt facit är säkert för jag avrundat lite mycket någonstans..hehe)

Min lärare säger 36,4 år, facit från boken säger 26 år, jag säger 2.4 år?

Förstår inte svaret eller var jag gjorde fel eller vad jag gjorde. 

 

Tackar!

mrpotatohead skrev:

ChristopherH skrev:

Invånarantalet i en förort till Los Angeles ökar under en period exponentiellt med tiden. För tio år sedan hade förorten 85000 invånare. Nu bor där 102 000 personer

a) Bestäm exponentialfunktion med basen e som beskriver invånarantalet under tioårsperioden

 

b) Efter hur många år, räknat från i dag, kommer invånartalet att öka med 3000 personer per år, om vi antar att befolkningen fortsätter att öka på samma sätt?

 

Mitt problem är att ställa upp ekvationerna själv 

Mitt svar:

a) 85000e^10x = 102000

Du kan ju använda x men blir lite förvirrande eftersom 10 "egentligen" är ditt x-värde (iaf senare i uträkningen). Utgå alltså istället från y = Ce^kx och skriv:

C=startbefolkning i tusental, y= befolkning i tusental, x är år efter starttiden (10 år sedan) och k är konstanten som avgör förändringshastigheten

=> 102 = 85e^k10 (lös ut k) 

(som du gör nedan men du gör det felaktigt)

=>

e^10x =  ln102(tusen)/85(tusen)

=>

10x = ln1.2(tusen)

=>

x=0.12(tusen)

Ser inte riktigt vad du gjort här men ln(1,2)/10 får jag iaf till 0,018.

Alltså har vi nu y=85e^0,018x som funktion. 

b) 

Eftersom idag så har vi 102000 personer och den ökar med förändringsfaktor 0.12x

e^0.12x x 85000 = f(p)

Förstår inte detta steg.

för att veta hur många personer per år som det växer 3000personer per år så använder man derivata.

Korrekt beslut att använda derivata

=>

0.12e^0.12x x 85000 = 3000 (tangentens lutning ska vara 3000)

Förstår fortfarande inte här vad du försöker göra när du multiplicerar derivaran med 85000.

=>

10200e^0.12x = 3000 (dividera 3000 med 10200)

=>

e^0.12x = 3000/10200 = 0.29

=>

e^0.12x = 0.29

=>

lne^0.12x = ln0.29

=>

0.12x = ln0.29

=> 

ln0.29/0.12

=> 

2.4 år?

 

Vad har jag gjort fel?

y=85e^0,018x 

y'= 1,53e^0,018x

Vi vill veta vilket år ökningen är 3000 per år, dvs när derivatan är 3000. Eftersom jag mäter allt i tusental blir det 3 för mig:

1,53e^0,018x = 3

e^0,018x = 3/1,53 = 1,96

0,018x = ln(1,96)

x ≈ 37,4 (år efter idag)

Eftersom vår funktion är baserad på startåret 10 år sedan blir svaret på frågan som räknar från idag:

37,4-10=27,4 ≈ 27 år

(att det inte blir exakt enligt facit är säkert för jag avrundat lite mycket någonstans..hehe)

Min lärare säger 36,4 år, facit från boken säger 26 år, jag säger 2.4 år?

Förstår inte svaret eller var jag gjorde fel eller vad jag gjorde. 

 

Tackar!

tack så mycket! hjälpsamt!

Inga problem, hoppas det klarna!