Intressant problem med en tredjegradares rötter

Notera att $x = -1$ är en rot till polynomet oberoende av a. Då kan vi faktorisera polynomet med en linjär term och ett andragradspolynom. 

Låt faktoriseringen vara $(x+1)(x^2 + bx + c) = x^3 + bx^2 + x^2 + cx +bx + c$
Detta ger ett ekvationssystem

$b+1 = a$
$c+b = a$
$c=1$

Lösningarna är då $c = 1$, $b = a-1$
Polynomet kan skrivas som $(x+1)(x^2 + x(a-1)+1)$

$x^2 + x(a-1) +1$ har rötterna $x = \frac{1-a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2 -2a-3}{4}}$
Rötterna är alltså reella om $a^2 -2a-3 \geq 0$
Genom att kvadratkomplettera får man
$(a-1)^2 \geq 4$ 
$a \geq 3$ eller $a \leq -1$

$a \geq 3$ get att polynomet har alla reella rötter när $3\leq a \leq 4$, detta intervall har längden 1
$a \leq -1$ get intervallet $-3 \geq a \leq -1$, längden av detta intervall är 2
Den totala längden av intervall med lösningar är 3 och det totala intervallet har längd 7. 
Chansen att polynomet har alla reella rötter är då $\frac37$