Intervallet för y i dubbelintegral

Hej, vi ska beräkna i ex 3 volymen av kroppen K, men jag förstår inte hur man hittar intervallet för y. Och intervallet för x hittar vi gennom skärning mellan cylindrarna. Intervallet för y är mellan 0 och 1, men hur ska jag tenke för att beräkna detta intervallet.

Grundtanken är ju att tältets "takhöjd" ( $\sqrt{1 - y^{2}}$ ) måste evalueras för alla punkter i D₁. D₁ är en triangel i x-y-planet. För att kunna få med alla punkter i triangeln så måste $y \in [0, 1]$ . Så långt kanske de flesta är med? Med enbart detta villkor så integrerar vi över en lång "remsa" mellan x-axeln och linjen y=1. Då får vi med alldeles för mycket. Titta sen på "nedre" integrationsgränsen i $\int_{x = - y}^{x = y} d x$ . Det är linjen med negativ lutning i bilden, kalla den $l_{1}$ . Övre integrationsgränsen är den andra linjen, kalla den $l_{2}$ . Integralen säger alltså "integrera från $l_{1}$ till $l_{2}$ ". Tillsammans med villkoret på y har vi täckt exakt triangeln D₁. Ett annat sätt att tänka kan vara att du låter $l_{1}$ svepa åt höger tills den möter $l_{2}$ .

Tack så mycket det var till stor hjälp

Av symmetri:

$8\displaystyle \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^x\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x=\frac{8}{3}$

Tack så mycket ni var det klart

Svara

Visa senaste svar