Intervaller

Eftersom de bara frågar om andraderivatans egenskaper kan vi strunta i f och f' helt och hållet.

Du ska alltså analysera 12x²-2.

Behöver jag rita kurvan f dvs ursprungliga funktioner för att välja x intervaller?

eller ska bara ta några x värde slumpmässigt?

Ta reda på när 12x²-2 är positiv eller negativ.

Hej igen

har inte löst det ännu. Gick genom teori

fick denna information men förstår inte riktigt 

nu har nollställt andra derivatan och fått två svar 

1.- behöver rita kurvan ?

2.- vad gör man efter 

tack 

Nu vet du när funktionen är noll. När är den positiv och när är den negativ?

Jag hittade den information som har skrivit på min lapp

ska göra enligt dessa 

när x är större och mindre än noll

samt när x= med noll ?

förlåt men  är vilse 

Hej igen

jag blir inte klokare just nu

hittade från edler att det f’ som

ska nollställa??

Nej det är enklare än så.

Andraderivatan är 12x²-2.

De vill veta när andraderivatan är positiv respektive negativ.

Det betyder att du ska lösa olikheterna 12x²-2 > 0 respektive 12x²-2 < 0.

Är den här lösningen fel ? 

Tillägg: 31 okt 2023 13:40

Eller utifrån andra derivatan nollställlen

Annabel29 skrev:

Eller utifrån andra derivatan nollställlen

Ja, nu är det närmare.

Men ditt svar är inte helt korrekt.

Skissa grafen till y = 12x²-2 i ett koordinatsystem.

Olikheten 12x²-2 > 0 är uppfylld för alla värden på x där grafen ligger ovanför x-axeln. Det är inte x > $\pm$ 0,40

Olikheten 12x²-2 < 0 är uppfylld för alla värden på x där grafen ligger under x-axeln. Det är inte x < $\pm$ 0,40

Sedan bör du inte ange närmevärden. Andraderivatans nollställen är x = $\pm\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Hej igen

ska inte kissa f(x) ?  Behövs inte ?

så roten av 1/6 är bara nollställen 

inte intervallerna

hur gör jag för att hitta intervaller utan att behöva rita kurvan 

Annabel29 skrev:

Hej igen

ska inte kissa f(x) ?  Behövs inte ?

Nej, det behövs inte eftersom de endast frågar efter när andraderivatan är positiv/negativ.

så roten av 1/6 är bara nollställen 

inte intervallerna

Ja det stämmer 

hur gör jag för att hitta intervaller utan att behöva rita kurvan 

Då kan du lösa olikheterna $x^2>\frac{1}{6}$ och $x^2<\frac{1}{6}$ algebraiskt.

Eftersom $\sqrt{x^2}=|x|$ så kan olikheterna skrivas $|x|>\frac{1}{\sqrt{6}}$ och $|x|<\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Kommer du vidare då?

Hej 

Nej har försökt komma på men lyckades inte 

tyvärr går inte vidare 

lösa olikheterna på vilken sätt? 

Fick den förklaringen med förstår inte heller det 

Annabel29 skrev:

Fick den förklaringen med förstår inte heller det 

Den förklaringen stämmer inte helt och den svarar inte heller på frågan.

Vi tittar på olikheten $|x|>\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Den kan vi nu lösa på ett par olika sätt.

======

Ett sätt är att se $|x|$ (dvs absolutbeloppet av $x$) som avståndet från x till origo.

Olikheten säger då att avståndet från $x$ till origo ska vara större än $\frac{1}{\sqrt{6}}$, vilket uppfylls dels av alla $x<-\frac{1}{\sqrt{6}}$, dels av alla $x>\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Ett annat sätt är att titta på absolutbeloppets egenskaper:

$|x|=x$ om $x>0$ och $|x|=-x$ om $x<0$.

Det ger oss att $|x|>\frac{1}{\sqrt{6}}$ kan skrivas som

$x>\frac{1}{\sqrt{6}}$ då $x>0$

$-x>\frac{1}{\sqrt{6}}$, dvs $x<-\frac{1}{\sqrt{6}}$ då $x<0$.

======

Samma typ av resonemang kan genomföras för.olikheten $|x|<\frac{1}{\sqrt{6}}$.

==≈≈≈≈≈

Men, som sagt, enklare är att skissa grafen till $y=12x^2-2$ I ett koordinatsystem.

Olikheten $12x^2-2>0$ är uppfylld för alla värden på $x$ där grafen ligger ovanför $x$-axeln (blå graf i bilden).

Olikheten $12x^2-2<0$ är uppfylld för alla värden på $x$ där grafen ligger under $x$-axeln (röd graf i bilden).

Inte när x=0

Vad menar du med "inte när x = 0"?

Jag menar olikheter 

kurvan under x axel och kurvan ovanför x axel 

andra derivatan  olikheter 

För att avgöra när är det positivt och negativt 

Det stämmer att ingen av olikheterna är uppfyllda då $12x^2-2=0$, dvs då $x=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}$.

Men är du nu med på att följande gäller?

• $12x^2-2>0$, dvs andraderivatan är positiv då $x<-\frac{1}{\sqrt{6}}$ och då $x>\frac{1}{\sqrt{6}}$
• $12x^2-2<0$,dvs andraderivatan är negativ då $-\frac{1}{\sqrt{6}}<>$

Du skrev att jag inte ska använda 0,40 så är decimaler från roten av 1/6 ?

vad är skillnaden?

så egentligen hela det är att utifrån nollställen ska jag bedöma om andra derivatan är positivt och negativt 

och olikheter ska användas varje gång som ska bestämma hur andra derivatan är positiv eller negativ ??

men nollställ punkter vilken funktion i andra derivatan?

Annabel29 skrev:

Du skrev att jag inte ska använda 0,40 så är decimaler från roten av 1/6 ?

vad är skillnaden?

$\frac{1}{\sqrt{6}}$ är ett exakt värde. 0,408 är ett avrundat närmevärde. Oftast ska vi (om möjligt) använda exakta värden inom matematiken.

så egentligen hela det är att utifrån nollställen ska jag bedöma om andra derivatan är positivt och negativt 

Nej, det hela är att du ska besvara frågan om när andraderivatan är positiv respektive negativ.

Om du då själv väljer att ta fram nollställen som ett led i dina uträkningar så är det OK. Men du behöver inte göra det, som jag visade i de algebraiska lösningsförslagen.

och olikheter ska användas varje gång som ska bestämma hur andra derivatan är positiv eller negativ ??

Ja, eftersom positiv betyder att något är större än 0 och negativ betyder att något är mindre än 0. Så därför måste vi jobba med olikheter här. Observera att detta gäller generellt och att det inte har med just andraderivatan att göra.

Exempeluppgift: För vilka värden på x har funktionen f(x) = x+3 ett positivt respektive negativt värde?

Lösning:

• För att ta reda på vilka x-värden som ger f(x) ett positivt värde så löser vi olikheten x+3 > 0 och får då resultatet x > -3.
• För att ta reda på vilka x-värden som ger f(x) ett negativt värde så löser vi olikheten x+3 < 0 och får då resultatet x < -3.

men nollställ punkter vilken funktion i andra derivatan?

Att andraderivatan f''(x) är lika med 0 i en viss punkt säger oss inget konkret om hur funktionen f(x) ser ut i just den punkten.

Däremot kan andraderivatans värde iblanf hjälpa oss att bestämma stationära punkters karaktär.

Exempel: Om förstaderivatan f'(x) för en funktion f(x) har ett nollställe vid x = x₁ så vet vi att funktionen f(x) har en stationär punkt vid x = x₁.

Denna stationära punkt kan antingen vara en terrasspunkt, en minimipunkt eller en maximipunkt.

Andraderivatans tecken vid den punkten kan nu ge oss information om vilken typ av stationär punkt det är.

• Om f''(x₁) < 0 så är det en maximipunkt.
• Om f''(x₁) < 0 så är det en minimipunkt.
• Om f''(x₁) = 0 så vet vi inte vilken typ av punkt det är utan vi måste gå vidare för att undersöka det 

Det var inte lätt att förstå 

kändes svårt och komplicerat 

Om man ser andra har man använt sig att första derivatan  och sen ersätta i andra derivatan 

vad är det som är skillnaden???

Annabel29 skrev:

Det var inte lätt att förstå 

kändes svårt och komplicerat 

Vilken del kändes svår och komplicerad?

Om man ser andra har man använt sig att första derivatan  och sen ersätta i andra derivatan 

vad är det som är skillnaden???

Vi pratar troligtvis om samma saker. Vi tittar på ett exempel:

Bestäm eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter till funktionen f(x) = x²-2x+5.

Lösning:

Vi deriverar funktionen och letar efter derivatans nollställen:

f'(x) = 2x-2

Deruvatans nollställen får nu genom att lösa ekvationen f'(x) = 0, dvs 2x-2 = 0.

Denna ekvation har en enda lösning, nämligen x = 1.

Vi vill nu ta reda på om detta x-värde ger en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Därför tittar vi på andraderivatans tecken vid detta x-värde.

Vi deriverar igen: f''(x) = 2.

Andraderivatans värde vid x = 1 är f''(1) = 2, vilket är större än 0.

Därför är x = 1 en minimipunkt till f(x).