intervall då f(x) är positiv och negativ (envariabelanalys)

Enklast är nog att använda det faktum att kvoten $\frac{a}{b}$ är

• positiv då $a$ och $b$ har samma tecken
• negativ då $a$ och $b$ har olika tecken
• lika med 0 då $a=0$ och $b\neq0$
• odefinierad då $b=0$

Yngve skrev:

Enklast är nog att använda det faktum att kvoten $\frac{a}{b}$ är

• positiv då $a$ och $b$ har samma tecken
• negativ då $a$ och $b$ har olika tecken
• lika med 0 då $a=0$ och $b\neq0$
• odefinierad då $b=0$

exakt men då ska jag alltså ta fram alla dessa intervall jag gjorde eller räcker det med någon annan variant?

edit: förutom gränsvärderna då alltså

Ja, men det är inte så mycket jobb.

Börja med täljaren:

• $x^2-1<0$ då $-1<x<1$
• $x^2-1>0$ då $x<-1$ och $x>1$
• $x^2-1=0$ då $x=\pm1$

Nämnaren:

• $x^2-4<0$ då $-2<x<2$
• $x^2-4>0$ då $x<-2$ och $x>2$
• $x^2-4=0$ då $x=\pm2$

====================

Det ger dig följande intervall:

• $x<-2$: Både täljaren och nämnaren är större än 0.
• $-2<x<-1$: Täljaren är större än 0, nämnaren är mindre än 0.
• $-1<x<1$: Både täljaren och nämnaren är mindre än 0.
• $1<x<2$: Täljaren är större än 0, nämnaren är mindre än 0.
• $x>2$: Både täljaren och nämnaren är större än 0.

Samt följande punkter:

• $x=\pm1$: Täljaren är lika med 0, nämnaren är skild från 0.
• $x=\pm2$: Nämnaren är lika med 0.

EDIT - Korrigerade lite felskrivningar större <-> mindre

Hej M. M.,

Uttrycket $f(x)$ kan skrivas på ett sätt som förenklar din uppgift.

    $f(x) = \frac{x^2-4+4-1}{x^2-4} = 1 + \frac{3}{x^2-4}.$

Då ser du att om $x^2>4$ så är $f(x) > 1$, så det är bara på intervallet $-2< x< 2$ som $f(x)$ eventuellt kan vara negativ.

Uttrycket $(x^2-1)/(x^2-4)$ är positivt när $-1\leq x \leq 1$, så det återstår att undersöka intervallen $-2<x<-1$ och $1<x<2$. På dessa intervall är $1<x^2<4$ vilket ger positiv täljare och negativ nämnare, så kvoten är negativ på dessa intervall.

tusen tack för hjälpen!