Intervall

Om du tittar på h(x):

Vilka är de största och de minsta värdena du kan få fram på h(x)?

bara en ren gissning, är det inte så att din invers går mot -1 (du har ju en asymptot på x= -1), så när x>1 så skär den på -x och x som ger samma y-värde och därför är den inte inverterbar då x > 1

vad är värdemängden för h(x) ?

Har du ritat?

Tack för svaren, imorgon bitti är mina Envariabeltimmar. Ska kika på era svar då. Tack sålänge.

Bedinsis skrev:

Om du tittar på h(x):

Vilka är de största och de minsta värdena du kan få fram på h(x)?

@Bedinsis - Största värdet är 1
$V_h=(-\infty ,1]$

Dracaena skrev:

bara en ren gissning, är det inte så att din invers går mot -1 (du har ju en asymptot på x= -1), så när x>1 så skär den på -x och x som ger samma y-värde och därför är den inte inverterbar då x > 1

Det bildas ingen asymptot för denna funktion. 

Smaragdalena skrev:

Har du ritat?

Har ritat en figur på desmos ja. 

Den inverterade funktionens definitionsmängd är lika med originalfunktionens värdemängd.

Eftersom originalfunktionens värdemängd är uppåt begränsad så blir även den inverterade funktionens definitionsmängd uppåt begränsad.

====

Du kan tänka så här: Funktionen $h(x)$ är en avbildning från mängd A till mängd B, där varje element i mängd A avbildas på exakt ett element i mängd B och där varje element i mängd B är en avbildning av något element i mängd A.

Den inverterade funktionen $h^{-1}(x)$ är en avbildning åt andra hållet, dvs varje element i mängd B avbildas på exakt ett element i mängd A och varje element i mängd A är en avbildning av något element i mängd B.

Mängden B är densamma i de båda fallen.

Blev det klarare då?

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\frac{{(1-\sqrt{x})}^2}{1-x} \\ h\left(x\right)=\frac{1-2\sqrt{x}+x}{1-x}=\frac{x({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}+1)}{x({\displaystyle \frac{1}{x}}-1)}=\frac{({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}+1)}{({\displaystyle \frac{1}{x}}-1)} \\ \frac{lim}{x->\infty }\frac{({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x}}}+1)}{({\displaystyle \frac{1}{x}}-1)}=\frac{({\displaystyle \frac{1}{\infty }}-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\infty }}}+1)}{({\displaystyle \frac{1}{\infty }}-1)}=\frac{0-0+1}{0-1}=-1 \end{gathered}$$

samt

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=(1-\sqrt{x}){(1+\sqrt{x})}^{-1} \\ ⋮ \\ h\text{'}\left(x\right)=\frac{-2}{2\sqrt{x}{(1+\sqrt{x})}^2} \end{gathered}$$

h' < 0 för alla x$\ge$0 -> h är avtagande för x≥0. Därmed utgör h(0) och $h(\infty )$de högsta respektive lägsta värdena för h.

Värdemängd h : $1\ge h>-1$

Yngve skrev:

Den inverterade funktionens definitionsmängd är lika med originalfunktionens värdemängd.

Eftersom originalfunktionens värdemängd är uppåt begränsad så blir även den inverterade funktionens definitionsmängd uppåt begränsad.

====

Du kan tänka så här: Funktionen $h(x)$ är en avbildning från mängd A till mängd B, där varje element i mängd A avbildas på exakt ett element i mängd B och där varje element i mängd B är en avbildning av något element i mängd A.

Den inverterade funktionen $h^{-1}(x)$ är en avbildning åt andra hållet, dvs varje element i mängd B avbildas på exakt ett element i mängd A och varje element i mängd A är en avbildning av något element i mängd B.

Mängden B är densamma i de båda fallen.

Blev det klarare då?

Såhär?Om detta stämmer innebär det att definitionsmängden för den inverterade funktionen är (-infinity,1] och inte (-1,1]

se mitt inlägg ovan ditt senaste

oneplusone2 skrev:

se mitt inlägg ovan ditt senaste

Genom att ta fram gränsvärdet får du en gräns för intervallet fine. -1 är en gräns. H(x) går mot -1 när x går mot oändligheten. Sen deriverar du? Varför? 

Korra skrev:

Såhär?Om detta stämmer innebär det att definitionsmängden för den inverterade funktionen är (-infinity,1] och inte (-1,1]

Bilden stämmer men inte din slutsats.

Din $V_h$ stämmer inte.

Funktionen $h$ är både uppåt och nedåt  begränsad.

Yngve skrev:

Korra skrev:

Såhär?Om detta stämmer innebär det att definitionsmängden för den inverterade funktionen är (-infinity,1] och inte (-1,1]

Bilden stämmer men inte din slutsats.

Vad har du bestämt $D_h$ och $V_h$ till?

Värdemängd och definitionsmängd för funktionen h

Din värdemängd $V_h$ stämmer inte.

$V_h$ är alla $x$ sådana att $-1<x\leq1$.

Den undre begränsningen kommer sig dels av att $h(x)\Rightarrow -1$ då $x\Rightarrow\inf$, dels av att att $h'(x)<0$ överallt, vilket innebär att $h(x)$ är strikt avtagande och därmed aldrig kan anta ett värde mindre än -1.

Korra skrev:

oneplusone2 skrev:

se mitt inlägg ovan ditt senaste

Genom att ta fram gränsvärdet får du en gräns för intervallet fine. -1 är en gräns. H(x) går mot -1 när x går mot oändligheten. Sen deriverar du? Varför? 

Har h(x) extrempunkter så är inte start/slutpunkterna för h(x) nödvändigtvis de högsta/lägsta värdena. Nu var det så tacksamt att h'(x)<0 för x>0 vilket medför att h'(x) aldrig är lika med 0. Därmed finns det inga extrempunkter. Då kan man direkt dra slutsatsen 1$⩾$h>-1.

Vad vi gör här är att vi diskuterar slutsatser om h(x) baserat på olika beräkningar. Svaren på alla dina frågor blir helt uppenbara om du istället ritar funktionen.

Korra skrev:

Smaragdalena skrev:

Har du ritat?

Har ritat en figur på desmos ja. 

Lägg upp den här, så att vi kan se den!