Intergraler och area, samt intervall.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Rita ett koordinatsystem och markera de två givna punkterna.

Rita nu en graf mellan x = 0 och x = 2 som ger dig så stort värde som möjligt på integralen, det motsvarar att grafen ligger så högt ovanför x-axeln som möjligt så länge som möjligt. Tänk då på att f'(x) endast är uppåt begränsad i och med f'(x) $\leq$ 1/2, vilket betyder att den kan vara hur liten som helst, dvs grafen kan luta hur brant som helst neråt.

Gör sedan på liknande sätt för att få ett så litet värde som möjligt på integralen.

Hej och tack!

Suttit länge och funderat nu och kom fram till detta men är osäker.

Den blåa grafen är jättebra.

Från startpunkten (0, 2) jättebrant neråt så snabbt som möjligt, sedan uppåt sä lite som möjligt men så att vi ändå når målet (2, 0). Då blir integralens värde minimalt, men vad blir integralens värde då?

Den andra extremen, att få så stort värde som möjligt på integralen, behöver du fundera lite mer på.

Har du någon vägledning för hur jag ska göra näst? Både att hitta största värdet och luska ut vad intergralens värde blir?

Integralens värde: Den blåa grafen är (i stort sett) grafen till $f(x)=\frac{x}{2}-1$. Är du med på det?

I så fall kan du enkelt beräkna $\int_{0}^{2}f(x)\operatorname dx$

Detta är det minsta värdet integralen kan få eftersom grafen då ligger så långt ner som möjligt.

För att få ett så stort värde som möjligt vill du hålla grafen så långt upp som möjligt. Pröva samma teknik, med en del där grafen lutar 1/2 och att den störtdyker någonstans.

Du kan tänka att du har ett snöre som sitter fast i (0, 2) och (2, 0) och att du sedan blåser underifrån så att snöret kommer så högt upp som möjligt men ändå uppfyller villkoret f'(x) $\leq$ 1/2.

Såhär alltså? Om f(x)=x/2-1 var (i stort sett) grafen till det minsta värdet, vad är då grafen till det största?

Snyggt!

Var du med på att den blåa grafens ekvation är y = x/2-1 i stort sett överallt (förutom störtdykningen direkt efter x = 0)?

Isåfall kan du även bestämma ekvationen i stort sett överallt (förutom störtdykningen srrax innan x = 2) för den röda grafen, eller hur?

Det borde då alltså bli f(x)=x/2+2

Och ja, det var jag med på. Då har jag (i stort sett) funktionerna för både största och minste värde. f(x)=x/2-1 och f(x)=x/2+2. Men eftersom de är ”i stort sett”, behöver jag ändra de när jag sätter in funktionen i intergralen? 

Nej. Du kan skriva så här.

"Om vi hade haft $f(x)=\frac{x}{2}+2$ så skulle integralens värde ha varit $\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}+2)\operatorname dx=5$.

Eftersom grafen ligger lite lite lägre än detta så blir integralen värde lite lite mindre än 5".

Och på liknande sätt i det andra fallet.

Okej toppen!

Jag är fortfarande lite ny på detta med intergraler. Vad är nästa steg i uppgiften?

Funderat hela natten, så nu behöver jag bara göra två uträkningar för dessa två grafer i två intergraler för att visa att värdet är större eller samma, samt mindre eller samma, för att svara på hela uppgiften? 

Det stämmer.

Visa att $\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}+2)\operatorname dx=5$ och att $\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}-1)\operatorname dx=-1$ och skriv dina resonemang liknande detta:

"För att få så stort (litet) värde på integralen som möjligt vill vi att grafen ska ligga så högt ovanför (långt under) x-axeln som möjligt. Detta uppnår vi genom så stor positiv lutning som möjligt så länge som möjligt och så brant störtdykning som möjligt så att grafen ändå går genom de två ändpunkterna."

Läs nu den här tråden som behandlar samma fråga och se om du får någon inspiration från den.

Toppen!! Stort super tack ska du ha. :)

kajsalisa00 skrev:

Toppen!! Stort super tack ska du ha. :)

Hmmm, har du inte sovit alls i natt?

Haha jo, men fastnade i det så blev sen sömn. Börjar jobba vid 05.30 så upp tidigt som gäller!