Integral uppgift

Visa hur du har försökt så kan vi nog hitta var skon klämmer. 

$$\begin{gathered} e^{x-6} \\ eller \\ {e}^x-6 \\ ???? \end{gathered}$$

Kolla frågan ordentligt. Som du skriver är ekvationen för den andra kurvan $y =e{ }^x- 6$. Det ger en relativt snygg övre gräns för integralen, $x_{Max} =\ln \left(7\right)$

Dr. G skrev :

Visa hur du har försökt så kan vi nog hitta var skon klämmer. 

Jajamen får bli imorgon, checkar ut för ikväll.

Den blå grafen är $y_1=e^x-6$ och den röda är $y_2=7e^{-x}$. Det finns två skärningspunkter av intresse för att kunna sätta ut integrationsgränserna. Dels där dessa skär varandra och dels där $y_1$ skär x-axeln. För att få dessa behöver du lösa ekvationerna $y_1=y_2$ och $y_1=0$ respektive. Du har alltså

      $$\begin{gathered} e^x-6=7e^{-x}\iff e^x-\frac{7}{e^x}-6=0\iff \left[t=e^x\right]\iff t-\frac{7}{t}-6=0\iff t^2-6t-7=0. \\ \left\{\begin{array}{ll}{t}_1=& 7<0\\ t_2=& -1>0\end{array}\right.\Rightarrow e^x=7\iff x=\ln \left(7\right), \end{gathered}$$

ty $e^x>0$ för alla $x$. Den andra roten är

     $e^x-6=0\iff e^x=6\iff x=\ln \left(6\right).$

Arean av den sökta ytan blir

     $A={\int }_0^{\ln \left(7\right)}7e^{-x}dx-{\int }_{\ln \left(6\right)}^{\ln \left(7\right)}{e}^x-6dx.$

Förstår du varför?

Är vi säkra på att x-axeln är nedre begränsningen i y-led för area beräkningen. Jag tolkar uppgiften som att y=e^x-6 är nedre begränsningen för area beräkningen!

mattekalle skrev :

Är vi säkra på att x-axeln är nedre begränsningen i y-led för area beräkningen. Jag tolkar uppgiften som att y=e^x-6 är nedre begränsningen för area beräkningen!

X-axeln är inte nedre begränsningen. Men ingen har påstått det heller.

Vad gäller integrationsgränserna så är den ena självklart x = 0 och den andra får du genom att hitta kurvornas skärningspunkt.