Integral och primitiv funktion

Hej, har lite problem med denna uppgift. Det är så att jag har en plan om hur jag ska få fram arean och det är att först bestämma arean i den första kvadranten med y=0 som undre funktion och f(x) som övre funktion. Sedan bestämma arean i den andra kvadranten med g(x) som undre funktion och f(x) som övre funktion, och sedan addera de två areorna. Problemet är att jag vet inte riktigt hur jag ska få fram den primitiva funktionen av f(x) då det är roten ur. Behöver lite hjälp med det, tack.

Vad är den primitiva funktionen till $\sqrt{x}$ ?

Tänk på att $\sqrt{x} = x^{1 / 2}$ .

Kan vi utnyttja detta som inspiration på något vis?

PATENTERAMERA skrev:
Vad är den primitiva funktionen till $\sqrt{x}$ ?
Tänk på att $\sqrt{x} = x^{1 / 2}$ .
Kan vi utnyttja detta som inspiration på något vis?

Okej tack! Blir det då såhär eller har jag tänkt fel?

$f (x) = \sqrt{10 - 2 x} f (x) = 10^{\frac{1}{2}} - {(2 x)}^{\frac{1}{2}} F (x) = \frac{10^{- \frac{1}{2}} - {(2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{- \frac{1}{2}}$

Hedi skrev:

Okej tack! Blir det då såhär eller har jag tänkt fel?

$f (x) = \sqrt{10 - 2 x} f (x) = 10^{\frac{1}{2}} - {(2 x)}^{\frac{1}{2}} F (x) = \frac{10^{- \frac{1}{2}} - {(2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{- \frac{1}{2}}$

Nej. Det gäller inte i allmänhet att $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .

Tänk istället att $f(x)=(10-2x)^{\frac{1}{2}}$ .

Då bör $F(x)$ vara någonting liknande $k\cdot (10-2x)^{\frac{3}{2}}$ .

Derivera nu $F(x)$ och se vad du får. Jämför det med $f(x)$ . Kan du välja något värde på konstanten $k$ så att det går ihop?

PATENTERAMERA skrev:
Vad är den primitiva funktionen till $\sqrt{x}$ ?
Tänk på att $\sqrt{x} = x^{1 / 2}$ .
Kan vi utnyttja detta som inspiration på något vis?

$\frac{d}{d x} (x^{3 / 2}) = \frac{3}{2} x^{1 / 2}$ .

Så en primitiv funktion till $\sqrt{x}$ är $\frac{2}{3} x^{3 / 2}$ .

Låt oss nu föra en generell tankegång. Låt w(x) vara en funktion med en primitiv funktion W(x).

Om vi har en funktion z(x) som definieras enligt z(x) = w(ax + b), där a $\neq$ 0.

Jag hävdar att en primitiv funktion, Z(x), till z(x) ges av W(ax + b)/a.

Bevis:

Vi utnyttjar kedjeregeln

$\frac{d}{d x} \frac{W (a x + b)}{a} = \frac{W' (a x + b)}{a} \frac{d (a x + b)}{d x} = \frac{W' (a x + b)}{a} a = w (a x + b) = z (x)$ . QED

Om du sätter w(x) = $\sqrt{x}$ , och z(x) = w(10 - 2x), så borde du komma vidare med hjälp av vad som sagts ovan.

Svara

Visa senaste svar