Integrerbarhet av en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall
Hej!
Så, en kontinuerlig funktion på ett slutet intervall är integrerbar, men varför är det så. Jag har letat runt ett tag nu, men tydligen har jag inte letat på rätt ställen. Skulle vara tacksam om det finns någon här som kan hjälpa mig.
Den måste väl också vara begränsad? T.ex 1/x är inte integrerbar på [0,1]
Notera att allt detta är tillräckliga villkor, men inte nödvändiga (dvs integrerbarhet implicerar t.ex inte att intervallet är slutet. T.ex är 1/x2 integrerbar på [1,inf)).
Fast 1/x är väl inte kontinuerlig i x=0 och därmed inte kontinuerlig på [0,1]?
Förstår att det inte nödvändigtvis funkar åt båda hållen, men det jag behöver veta nu är varför kontinuitet under dessa förutsättningar medför integrerbarhet.
Precis som du säger så är 1/x inte kontinuerlig på slutna 0<=x<=1 eftersom den inte ens är definierad där. Denna fkn uppfyller alltså inte det du är intresserad av. Följande vet man: En funktion f som är kontinuerlig på ett slutet intervall är såväl begränsad som integrerbar både i vanlig Riemann-mening och i Lebesgue-mening. Beviset i Riemann-fallet är m h a över- och undersummor, som du säkert är bekant med. Att f är begränsad visas t ex med Heine-Borels övertäckningssats (egentligen omvändningen till denna sats).
Tack, det gjorde det lite klarare. Jag har dock svårt att förstå vad det har med kontinuitet att göra. Missar jag något uppenbart?
Jag har inte beviset i bakfickan, men om funktionen inte är kontinuerlig så är den inte säkert integrerbar.
T ex f(x) = 0 för rationella x och 1 för irrationella x är inte kontinuerlig och inte Riemannintegrabel på [0, 1].
För att visa att kontinuitet är ett tillräckligt villkor gissar jag att man kör ett race med över- och undersummor som Tomten föreslår.
Lesbegue är jag inte så bra på, men funderar: innebär Riemannintegrerbarhet att det är Lesbequeintegrabelt? Spontant skulle jag gissa det men vet inte.
1. Om f är kont på slutna 0<=x<=1 så är den likformigt kont där. Det underlättar betydligt när man tecknar över- och undersummorna. Det sagda gäller när man skriver på papper eller krittavla, men här på en mobil blir det ett idiotgöra, som jag måste avstå från.
2. Det är sant som Marilyn säger att en Riemann-integrerbar funktion är också Lebesgueintegrerbar. Omvändningen gäller däremot inte och ett motexempel ger hon också: f som är 0 på rationella och 1 på icke-rationella är Lebesgue integrerbar men ej Riemann.
En begränsad funktion med ändligt många diskontinuiteter och i övrigt kont. är dock Riemannintegrerbar.
