Integrerande faktor mm

Hej! Sitter med en uppgift i ellära men fastnar i uträkningarna. Har fått lite hjälp av min vän som har använt sig av en integrerande faktor och fått fram integralen I(t) = $\frac{1}{t}$ $\int$ t · e^at dt + $\frac{C}{t}$ . Fram till det steget är jag med men hon har sedan fått det till att bli I(t) = t · $\frac{e^{a t}}{a}$ - $\frac{e^{a t}}{a^{2}}$ .

Jag tror att jag missat någon integreringsregel för om jag själv hade integrerat hade jag istället fått det till I(t) = $\frac{1}{t}$ · $\frac{t^{2}}{2}$ · $\frac{e^{a t}}{a}$ + $\frac{C}{t}$

... och sedan förenklat vidare. Vad har jag missat? Tacksam för hjälp!

Hennes I(t) hon har fått är resultatet av bara integralen, utan faktorn 1/t framför och termen C/t efter.

Jag tror det du missar är att det är en integral av en produkt av två funktioner f1(t) och f2(t). Du verkar ha tänkt att det är en integral av en summa av dessa två funktioner.

Åh, ja det har jag missat! Stämmer det då att man följer formen: $\int$ f(x)h(x)dx = f(x)H(x) - $\int$ f'(x)H(x)dx?

I sådana fall får jag $\frac{1}{t}$ $\int$ t · $e^{a t}$ dt+ $\frac{C}{t}$ = $\frac{1}{t} \cdot t \cdot e^{a t} - \int 1 \cdot e^{a t} d t$ + $\frac{C}{t}$ = $e^{a t} - t \cdot e^{a t} + \frac{C}{t}$

Men jag gör fortfarande något fel tror jag, får inte fram rätt svar...

Helt rätt formel, men nu glömmer du bara att den primitiva funktionen ur e^(at). Du måste dividera med a.

Åh tack, såklart! Nu har jag testat det, jag får $\frac{e^{a t}}{a} (1 - \frac{t}{a}) + \frac{C}{t}$

Men min klasskompis har fått $\frac{e^{a t}}{a} (1 - \frac{1}{a t}) + \frac{C}{t}$

Jag förstår inte hur hennes t i andra termen i parentesen kan hamna i nämnaren. Har jag missförstått igen? :(

Eftersom att du dividerar med t borde du få t i nämnaren. Tror att du kan ha slarvat bort den faktorn tidigare i lösningen

Så är det säkert. Här är hela min lösning men jag hittar inte vart jag gör fel :( Vore tacksam för förklaring :)

När du gör din partiella integration så uppstår felet i rad 2. När du behandlar andra termen kommer t i täljaren försvinna eftersom att du ska derivera denna. Dessutom måste du multiplicera in 1/t i denna term (du multiplicerar bara in den faktorn i första termen). Därmed får du ett t i nämnaren istället för täljaren.

Aha, då tror jag att jag förstår! Jag trodde $\int f' (x)$ tog ut varandra i formeln $\int$ f(x)h(x)dx = f(x)H(x) - $\int$ - ∫f'(x)H(x)dx .

Tack så jättemycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar