Integrerande faktor/ integral

Här är en del av facit från uppgiften om att lösa $y' - 2 x y = 6 x e^{x^{2}}$ . Det jag inte förstår är längst ner, hur man får $e^{x^{2}}$ utanför integralen? Är inte den en funktion, så att man måste väl integrera (6x $\times e^{x^{2}}$ )dx, men eftersom det är svårt så egentligen får man väl y $\times e^{- x^{2}}$ som är lika med integralen av 6x? Eller tänker jag fel? Hur har det gjort med den där $e^{x^{2}}$ ?

Tänker precis som du med att man multiplicerar båda led med $e^{- x^{2}}$ snarare än $e^{x^{2}}$ . Tänk dock på att du skulle kunna utföra alla förenklingar i högerledet först och SEN flytta över $e^{- x^{2}}$ lika gärna som att flytta över direkt. Svaret måste ju bli samma, annars har man gjort något tokigt.

Man har gjort följande:

$\displaystyle ye^{-x^2}= \int e^{-x^2} 6x e^{x^2}dx$

Notera att $\displaystyle e^{-x^2} \cdot e^{x^2} = 1$

Så vi har efter förenkling:

$\displaystyle y e^{-x^2} = \int 6xdx$

Om vi integrerar HL så har vi fortfarande en faktor $e^{-x^2}$ att bli av med. Så facit gör sig av med denna faktorn direkt. Notera att denna faktorn inte tillhör integralen, och av den anledningen måste vara utanför.

Efter att man multiplicerar med $e^{x^2}$ fås slutligen:

$\displaystyle y = e^{x^2} \int 6x dx$

Svara