Integrerande faktor

Sin(x) är ungefär derivatan till - cos(x), så om du integrerar e^- cos(x) kommer den bli uppäten av kedjeregeln baklänges.

Det är så man känner igen ett perfekt variabelbyte, alltid det första jag letar efter i krångliga integraler. Sätt t=-cos(x).

Ja, jag insåg att sin x kommer försvinna men det är ju två funktioner gånger varandra så man måste väl oundvikligt att använda sig av partiell integration.  Alltså $\int f\left(x\right)g\left(x\right) = F\left(x\right)g\left(x\right)-\int F\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)$. Om jag sätter f(x) = $e^{-\cos x}$och g(x)=4sinx får jag detta: $\int 4\sin x e^{-\cos x}=4e^{-\cos x} - \int \frac{4\cos x e^{-\cos x}}{-\sin x}$ . Hur blir jag av med integralen? Den kommer enbart att fortsätta.

Nej du behöver inte använda partiell integration, varför det?

Testa derivera e^-cos(x) och se vad du får. Kan du ändra om funktionen lite så det stämmer helt med det du vill ha?

På tidigare uppgifter har man tagit integralen av HL och VL för att bli av med differential operator d/dx. Jag måste hitta den primitiva funktionen till 4sinx e^−cosx då måste jag väl använda mig av partiell integration. 

Testa derivera e^-cos(x) och se vad du får. Kan du ändra om funktionen lite så det stämmer helt med det du vill ha?

Deriverar jag den får jag $e^{-\cos x}·-\sin x$. Men jag förstår inte hur det ska hjälpa mig.

Varför skulle du använda partiell integration?

Om derivatan är det du vill integrera, så har du hittat primitiven. Vad händer om du tar funktionen gånger 4 och rättar till minuset?

Jaha, du tänker så! Ja men då får man -4e^-cosx + C. Men partiell integration borde väl ändå funka. Hur kommer sig att det blir fel?

Fel blir det inte, men du kan ha råkat göra den nya integralen svårare än den du började med.

Det är väl alltid så att man har många metoder att välja mellan, så får man testa och se vilka som leder framåt.

Jaa, ok! Tack för hjälpen!