Integrera under summa tecken
Om vi integrerar x^k/k varför hänger inte k med i uttrycket utan endast den geometriska seriens värde integreras?
Det är ju summan från k =2 till oändl. som ska bestämmas. k är indexet. Ska man summera en serie så måste uttrycket man kommer fram till vara oberoende av indexet. Det viktiga här är att det är tillåtet att "flytta in" summan innanför integrationen, vilket inte alltid är fallet. I detta exemplet har vi en potensserie och den konvergerar likformigt och absolut på kompakta mängder inom konvergensradien och då finns det en sats som säger att det är tillåtet. Jag vill därför påpeka att den sista likheten bara gäller inom konvergensradien för potensserien, vilket x=1/2 uppfyller.
Tomten skrev:Det är ju summan från k =2 till oändl. som ska bestämmas. k är indexet. Ska man summera en serie så måste uttrycket man kommer fram till vara oberoende av indexet. Det viktiga här är att det är tillåtet att "flytta in" summan innanför integrationen, vilket inte alltid är fallet. I detta exemplet har vi en potensserie och den konvergerar likformigt och absolut på kompakta mängder inom konvergensradien och då finns det en sats som säger att det är tillåtet. Jag vill därför påpeka att den sista likheten bara gäller inom konvergensradien för potensserien, vilket x=1/2 uppfyller.
Förstår detta men fattar inte sista likheten. Vad händer med 1/k?
Om vi skriver ut en bit av summan kanske du kan se vad som händer: Summa xk/k = x/1 + x2/2+ x3/3 +…. k:et ökar med 1 för varje term och när man summerar hela serien har man fått summan till 1/(1-x).
