Integrera rationellt (?)

Hej!

Du gör fel när du tror att du kan faktorisera $x^2+1$ med Konjugatregeln till produkten $(x+1)(x-1)$.

Istället kan du partialbråksuppdela såhär.

    $\frac{1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{A}{x^2+1} + \frac{B}{x+1}\ .$

Det ger att integralen blir en linjärkombination av $\arctan x$ och $\ln|x+1|.$

Albiki

Varför försummar du tvåan i VL? Om man jämför med andra exempel bevaras täljaren:

EDIT:

Som tips står det "Utför ansatsen $\frac{2}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{{\displaystyle Bx+C}}{x^2+1}$.

EDIT(2):

@Albiki, du menar väl $\frac{B}{x-1}$?

EDIT(3):

Eftersom jag inte förstår hur du får bort tvåan i täljaren och inte heller förstår tipset så testade jag att räkna om uppgiften men får fortfarande inte rätt på den...

Svaret ska bli $\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-{\tan }^{-1}\left(x\right)+C$. 

Om man kallar konstanten ovanför (x-1) för A eller B spelar inte någon roll, men det borde vara Ax+C (eller vad man vill kalla sina konstanter) i den andra täljaren. Det kan hända att koefficienten för x-termen visar sig vara 0, eller också var det för sent när det skrevs.

Tvåan i VL tar man häsyn till när man bestämmer värdena för A, B och C.

Så eftersom det finns $x^2$ i andra termen måste det skrivas till en term, t.ex. $Ax+C$? Jag förstår och återkommer!

Nu fick jag rätt på uppgiften! Det tog en himla tid...

Jag vet inte om det är det smidigaste sättet att lösa dessa "sorters" uppgifter på och visar nedan mina uträkningar i hopp om eventuell kommentar på hur jag kan förenkla uträkningarna.