Integrera över jämn funktion
Om man i envariabeln ska integrera en jämn funktion över ett intervall symmetriskt runt x=0, säg så är .
Gäller det på samma sätt i fler variabler?
Nedan har vi en yta som i xy-planet representerar en ellips, kalla denna regionen .
Volymen som är soliden under och över söks. Känns som jag bör kunna utnyttja faktumet att vi har symmetri runt z-axeln samt att och är jämna. Lite osäker hur jag ska göra dock, känns inte helt naturligt att jämföra från envariabeln.
Visst kan man utnyttja symmetrier för att beräkna integraler. Det gäller de flesta typer av integraler som är i bruk, inklusive dubbel- och trippelintegraler. Är dock osäker om det underlättar så mycket i det aktuella fallet, eftersom man till sist ändå lär sitta med en bit av kroppen, som inte verkar allt för lockande att beräkna.
Notera: din definition av begreppet Jämn stämmer inte. f(x)= -f(x) ==> f(x)=0. Bör vara f(x)=f(-x).
Tomten skrev:Visst kan man utnyttja symmetrier för att beräkna integraler. Det gäller de flesta typer av integraler som är i bruk, inklusive dubbel- och trippelintegraler. Är dock osäker om det underlättar så mycket i det aktuella fallet, eftersom man till sist ändå lär sitta med en bit av kroppen, som inte verkar allt för lockande att beräkna.
Notera: din definition av begreppet Jämn stämmer inte. f(x)= -f(x) ==> f(x)=0. Bör vara f(x)=f(-x).
Du har rätt, gjorde ett slarvfel där.
Känns som dubbelintegralen nedan blir mycket lättare om vi kan sätta nedre gräns till 0.
Tomten skrev:Visst kan man utnyttja symmetrier för att beräkna integraler. Det gäller de flesta typer av integraler som är i bruk, inklusive dubbel- och trippelintegraler. Är dock osäker om det underlättar så mycket i det aktuella fallet, eftersom man till sist ändå lär sitta med en bit av kroppen, som inte verkar allt för lockande att beräkna.
Notera: din definition av begreppet Jämn stämmer inte. f(x)= -f(x) ==> f(x)=0. Bör vara f(x)=f(-x).
Går inte att redigera latexkoden ovan av någon anledning. Ska stå så här iaf
Integranden är ju först bara ett polynom som är positivt över integrationsområdet, så Fubini-Tonelli garanterar att du får integrera en variabel i taget. Testa gärna symmetrins möjligheter, så slipper du rotmärket vid nedre integrationsgränsen. Spännande att se var det landar. Har du facit också?
Tomten skrev:Integranden är ju först bara ett polynom som är positivt över integrationsområdet, så Fubini-Tonelli garanterar att du får integrera en variabel i taget. Testa gärna symmetrins möjligheter, så slipper du rotmärket vid nedre integrationsgränsen. Spännande att se var det landar. Har du facit också?
Jag undrar hur jag kan använda symmetrier när det istället handlar om tre dimensioner istället för två. I två dimensioner som ovan så multiplicerar vi integralen med en faktor 2 då f(x) är symmetrisk kring y-axeln. Detta kan jag enkelt förstå då vi har två lika stora areaor på varje sida av y-axeln, om intervallet är exempelvis .
När vi går upp ytterligare en dimension så vet jag inte hur jag ska tänka då jag aldrig gjort det förut. Hur kan jag visualisera detta? I och med att vi som sagt är i 3d så har vi istället för 4 kvadranter, 8 oktanter. Blir bara förvirrad. Vilken faktor blir det här, och varför den faktorn?
Så länge som det är tiiåtet att fritt välja integrationsordningen a’ la Fubini-Tonelli, så tror jag man kan utnyttja symmetri i den variabeln man integrerar. Då behöver man inte visualisera och i högre dimensioner går det ju inte ens. Det är nog klokt att i så fall börja med den/de symmetriska variablerna.
