Integrera med partiell integration

Hej!
En uppgift från min mattebok lyder att man ska integrera $\int e^{2 x} \sin (3 x) d x$ med hjälp av partiell integration, men jag förstår inte hur man ska göra det, ingen av dessa leder till något jag kan integrera när jag försöker. Varken integralen eller derivatan av $e^{2 x}$ eller sin(3x) kommer ju någonsin bara bli en konstant.

Sådana här integraler kräver ett litet fultrick. Om vi tar ett enklare exempel:

$\displaystyle \int e^xsin$ $(x)\ dx$

Om vi nu tillämpar partialintegration får vi:

$e^xsin(x)-$ $\displaystyle \int$ $e^xcos(x)\ dx$

Tillämpar vi partialintegration på $e^xcos(x)$ -integralen får vi sedan:

$e^xsin(x)-(e^xcos(x)-$ $\displaystyle \int -e^xsin(x)\ dx$ $)$

Kallar vi nu vår ursprungliga integral för $I$ får vi:

$I=e^xsin(x)-e^xcos(x)-I$

Här kommer fultricket. Eftersom vi har $I$ på båda sidor av likhetstecknet kan vi lösa för $I$ som en vanlig ekvation:

$2I=e^xsin(x)-e^xcos(x)$

$I=\frac{1}{2}$ $(e^xsin(x)-e^xcos(x))$

Tror du att du kan utföra samma process på din integral?

Tack, det fungerade mycket bättre än att integrera och derivera oändligt

Svara