Integrera med minimalt variabelbyte

Sista fråga för idag tror jag!

Jag måste integrera:

$\int \frac{1}{2 - \cos x} d x$ med formel för halvavinkel för tangent. Grejen är (efter en ordentligt tjuvtit i lösning) det tillkommer en dubbelvariabelbyte, som jag inte gillar. Finns det en sätt att klara detta integrering UTAN dubbelvariabelbyte?

Jag kommer fram till det:

$\int \frac{1}{2 - \cos x} d x \Rightarrow [\begin{matrix} x = 2 a r c \tan t \\ t = \tan \frac{x}{2} \\ \frac{d x}{d t} = \frac{2}{1 + t^{2}} o c h s å k l a r t d x = \frac{2 d t}{1 + t^{2}} \end{matrix}]$ och dessutom $\cos (x) = \cos (2 a r c \tan t) = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$

$\int \frac{1}{2 - \cos x} d x = \int \frac{\frac{2 d t}{1 + t^{2}}}{2 - \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}} d t = \int \frac{2 d t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + 3 t^{2}} d t = \int \frac{2 d t}{1 + 3 t^{2}} d t$

Och nu kommer en ytterligare variabelbyte $t = \frac{1}{\sqrt{3}} s$ . Finns det något annat lösning därifrån, eller måste man bara vänja sig att gräva ut arctan-uttrycken ur torniga problem?

Det är klart att det direkt går att substituera

$x=2arctan(\frac{s}{\sqrt{3}})$

Men i praktiken kommer man aldrig på någon sådan substitution förrän man redan gjort alla beräkningar. Det är enklare att förstå vad man gör om man delar upp det i två separata substitutioner.

Oh. Det skulle jag ha aldrig gissat.

Men kan man inte lösa det med en annan metod? Jag har svårt med dubbelvariabelsubstitution (jag tror att jag har varit lite extremt med min icke skärskrivning här, vad säger språkpolis?)

Så vitt jag vet finns det inte så många andra metoder. Om läroboken vill att du gör på det här sättet skulle jag rekommendera att du försöker lära dig det.

Jag är ingen vidare språkpolis, men dubbelvariabelsubstitution är rättstavat. Dock skulle jag föredra att säga dubbel variabelsubstitution eftersom vi utför variabelsubstitution två gånger (det andra låter mer som att vi byter ut två variabler samtidigt).

Hej!

Jag skulle prova detta: Notera att derivatan av funktionen $2-\cos x$ är lika med $\sin x$ och skriv integranden som

$\displaystyle \frac{1}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{2-\cos x}\,dx =\frac{1}{\sin x}\,\frac{d(2-\cos x)}{2-\cos x}.$

Inför variabelsubstitutionen $u=2-\cos x$ vilket ger $\cos^2x = 1-\sin^2x = (2-u)^2$ så att integralen kan skrivas

$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-(2-u)^2}}\,\frac{du}{u}$ .

Brilliant!

$\int \frac{1}{\sqrt{2 u - 3 - u^{2}}} = \int {(2 u - 3 - u^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Jag vet inte hur man integrera vidare där... är det rätt med $F (u) = \frac{2 {(2 u - 3 - u^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(2 u + 2)} + C$

Trycker upp detta, jag får inte den rätt...

Svara

Visa senaste svar