polynomdivision

Det är inte konstigare än vid vanlig division.

• Om täljaren är större än nämnaren så blir resultatet en heltalsdel plus en restterm. Exempelvis är 13/4 lika med 3 + 1/4.
• Om täljaren är mindre än nämnaren så blir det ingen heltalsdel, utan det man har är då just resttermen. Exempelvis är 4/13 är lika med just 4/13 (eller 0 + 4/13 om du så vill).

På samma sätt vid polynomdivision: Om täljaren har lägre grad än nämnaren är divisionen redan "klar". Det du ser är då resttermen, dvs f(x)/g(x) = 0 + f(x)/g(x), där f(x)/g(x) är resttermen.

Yngve skrev:

Det är inte konstigare än vid vanlig division.

• Om täljaren är större än nämnaren så blir resultatet en heltalsdel plus en restterm. Exempelvis är 13/4 lika med 3 + 1/4.
• Om täljaren är mindre än nämnaren så blir det ingen heltalsdel, utan det man har är då just resttermen. Exempelvis är 4/13 är lika med just 4/13 (eller 0 + 4/13 om du så vill).

På samma sätt vid polynomdivision: Om täljaren har lägre grad än nämnaren är divisionen redan "klar". Det du ser är då resttermen, dvs f(x)/g(x) = 0 + f(x)/g(x), där f(x)/g(x) är resttermen.

men bara för att täljaren har lägre grad behöver den ju inte vara mindre än nämnaren?

Om du sätter in värden på variablerna behöver inte täljarens värde vara mindre, men problemet uppstår när du ska skriva om bråket till två olika bråk. Låt oss ta följande rationella uttryck som exempel: 

$\frac{x^3-2x+1}{x^2-2}$

Vi kan skriva nämnaren som:

$\frac{x(x^2-2)+1}{x^2-2}=\frac{x(x^2-2)}{x^2-2}+\frac{1}{x^2-2}= x+\frac{1}{x^2-2}$

Om vi istället vänder på uttrycket: 

$\frac{x^2-2}{x^3-2x+1}$

och försöker göra samma sak får vi problem vid uppdelningen eftersom

$\frac{x^2-2}{x(x^2-2)+1}\ne \frac{x^2-2}{x(x^2-2)}+\frac{x^2-2}{1}$

inte är en giltig uppdelning.

Därför finns det ingen poäng att polynomdividera om täljarens grad är lägre än nämnarens – vi kan inte göra något av den informationen vi eventuellt hittar, eftersom, som Yngve skriver, vi inte kan dela upp bråket och därmed förenkla det. :)

men bara för att täljaren har lägre grad behöver den ju inte vara mindre än nämnaren?

Det intressanta är inte VÄRDET av täljaren jämfört med nämnaren, utan GRADEN av täljaren jämfört med nämnaren.

pepparkvarn skrev:

Om du sätter in värden på variablerna behöver inte täljarens värde vara mindre, men problemet uppstår när du ska skriva om bråket till två olika bråk. Låt oss ta följande rationella uttryck som exempel: 

$\frac{x^3-2x+1}{x^2-2}$

Vi kan skriva nämnaren som:

$\frac{x(x^2-2)+1}{x^2-2}=\frac{x(x^2-2)}{x^2-2}+\frac{1}{x^2-2}= x+\frac{1}{x^2-2}$

Om vi istället vänder på uttrycket: 

$\frac{x^2-2}{x^3-2x+1}$

och försöker göra samma sak får vi problem vid uppdelningen eftersom

$\frac{x^2-2}{x(x^2-2)+1}\ne \frac{x^2-2}{x(x^2-2)}+\frac{x^2-2}{1}$

inte är en giltig uppdelning.

Därför finns det ingen poäng att polynomdividera om täljarens grad är lägre än nämnarens – vi kan inte göra något av den informationen vi eventuellt hittar, eftersom, som Yngve skriver, vi inte kan dela upp bråket och därmed förenkla det. :)

kan man bevisa eller förklara varför det blir fel i uppdelningen varje gång graden är mindre? kommer ej på varför ser dock att det gäller alla exempel jag testat utöver ditt. Det blir liksom en rest i nämnaren.

Smaragdalena skrev:

men bara för att täljaren har lägre grad behöver den ju inte vara mindre än nämnaren?

Det intressanta är inte VÄRDET av täljaren jämfört med nämnaren, utan GRADEN av täljaren jämfört med nämnaren.

fattar ej varför graden av täljaren spelar roll.. men ser att det gör det när jag provar för att det inte går att faktorisera nämnaren utan att få en rest. 

Om du delar ett fjärdegradspolynom med ett andragradspolynom så får du ett andragradspolynom plus en rest. Resten är av grad 1. Eventuellt kan resten vara lika med 0, om divisionen har gått jämnt ut. Är du med så långt?

Smaragdalena skrev:

Om du delar ett fjärdegradspolynom med ett andragradspolynom så får du ett andragradspolynom plus en rest. Resten är av grad 1. Eventuellt kan resten vara lika med 0, om divisionen har gått jämnt ut. Är du med så långt?

nope

Om du gör heltalsdivision a/b så skriver du a = b*k + r där 0 <= r < |b|

Om du gör polynomdivision p/q så skriver du p = q*k + r där grad(r) < grad(q)

Så om du gör heltalsdivision 17/42 så blir det 0*42 + 17 = 17, dvs ingen kvot, bara rest

Eller polynomdivision p/q om täljaren har grad mindre än nämnaren blir q*0 + r = r, dvs ingen polynomdel, bara rest

Heltalsdivisionen kan skrivas som a/b = k + r/b = heltalsdel + bråkdel där bråkdelen är mindre än 1

Polynomdivisionen kan skrivas p/q = k + r/q = polynom + rationell funktion där grad(r) < grad(q) men om du redan från början har täljaren av grad mindre än nämnaren så ger polynomdivision inget för polynomdelen blir 0 eftersom rationella funktionen redan har grad av täljaren mindre än grad av nämnaren.

lamayo skrev:

Smaragdalena skrev:

Om du delar ett fjärdegradspolynom med ett andragradspolynom så får du ett andragradspolynom plus en rest. Resten är av grad 1. Eventuellt kan resten vara lika med 0, om divisionen har gått jämnt ut. Är du med så långt?

nope

Då bör du repetera vad polynomdivision är.

Smaragdalena skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Om du delar ett fjärdegradspolynom med ett andragradspolynom så får du ett andragradspolynom plus en rest. Resten är av grad 1. Eventuellt kan resten vara lika med 0, om divisionen har gått jämnt ut. Är du med så långt?

nope

Då bör du repetera vad polynomdivision är.

juste, nu är jag med på att det blir andragradspolynom om man dividerar polynom av grad 4 med grad 2.

dioid skrev:

Om du gör heltalsdivision a/b så skriver du a = b*k + r där 0 <= r < |b|

Om du gör polynomdivision p/q så skriver du p = q*k + r där grad(r) < grad(q)

Så om du gör heltalsdivision 17/42 så blir det 0*42 + 17 = 17, dvs ingen kvot, bara rest

Eller polynomdivision p/q om täljaren har grad mindre än nämnaren blir q*0 + r = r, dvs ingen polynomdel, bara rest

Heltalsdivisionen kan skrivas som a/b = k + r/b = heltalsdel + bråkdel där bråkdelen är mindre än 1

Polynomdivisionen kan skrivas p/q = k + r/q = polynom + rationell funktion där grad(r) < grad(q) men om du redan från början har täljaren av grad mindre än nämnaren så ger polynomdivision inget för polynomdelen blir 0 eftersom rationella funktionen redan har grad av täljaren mindre än grad av nämnaren.

jag fattar nästan nu! Men är det 100% att det blir något enklare att integrera efter polynomdivision? det kan väll bli nya bråk som är svåra att integrera?

Till slut har du ett bråk vars täljare har lägre grad än nämnaren, och då kan du göra en partialbråksuppdelning, så får du summan av ett antal inte-fullt-så-besvärliga bråk med nämnare av grad 2 eller lägre, och de kan man integrera utan större problem på universitets-nivå.

Smaragdalena skrev:

Till slut har du ett bråk vars täljare har lägre grad än nämnaren, och då kan du göra en partialbråksuppdelning, så får du summan av ett antal inte-fullt-så-besvärliga bråk med nämnare av grad 2 eller lägre, och de kan man integrera utan större problem på universitets-nivå.

ok! Tack!