Integrera 1/cos(6x)

Hej!

Uppgiften är att beräkna $\int \frac{1}{\cos 6 x} d x .$

Jag har försökt så här:

$[6 x = u \Leftrightarrow x = \frac{u}{6}, d x = \frac{d u}{6}]$ så $\int \frac{1}{\cos 6 x} d x = \frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos u} d u .$ Jag försöker sedan med substitutionen $[t = \tan \frac{u}{2} \Leftrightarrow u = 2 a r c \tan t, d u = \frac{2 d t}{1 + t^{2}}]$ samt att det från den substitutionen (och lite trixande med trigonometriska identiteter som jag hoppar över här) följer att $[\cos u = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}]$ . Så nu har vi alltså att beräkna $\frac{1}{6} \int \frac{1 + t^{2}}{1 - t^{2}} \cdot \frac{2}{1 + t^{2}} d t = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 - t^{2}} d t .$

Det får jag till $\frac{1}{3} \ln |1 - t^{2}| + C = \frac{1}{3} |1 - \tan^{2} \frac{u}{2}| + C = \frac{1}{3} |1 - \tan^{2} 3 x| + C$ vilket tydligen är fel. Förslag mottages tacksamt!

testa att förlänga med cos(x) och använd trig ettan på nämnaren, sen kan du låta u=sin(6x), då tror jsg det blir lite trevligare!

(Har inte rättat igenom det du skrivit, är lite tajt på tid för tillfället.)

1-t^2 kan du använda konjugatregeln på och partialbråksuppdela sen så blir det förhoppningsvis rätt

Edit, förslaget från Dracena verkar mkt bättre!

Genom att följa Dracaenas förslag att förlänga bråket med cos(x) och substituera sin(x) med u fick jag $\frac{1}{6} \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u .$ Sedan delade jag upp i partialbråk (Tack Ture!): $\frac{1}{6} \int \frac{1}{2 (1 - u)} + \frac{1}{2 (1 + u)} d u = \frac{1}{12} \int \frac{1}{(1 - u)} + \frac{1}{(1 + u)} d u = \frac{1}{12} (\ln |1 - \sin (6 x)| + \ln |1 + \sin (6 x)|) + C,$

vilket tyvärr inte heller är rätt...

Edit: jag var ute och cyklade en stund...

Vad ska det bli?

Jvpm skrev:
Genom att följa Dracaenas förslag att förlänga bråket med cos(x) och substituera sin(x) med u fick jag $\frac{1}{6} \int \frac{1}{1 - u^{2}} d u .$ Sedan delade jag upp i partialbråk (Tack Ture!): $\frac{1}{6} \int \frac{1}{2 (1 - u)} + \frac{1}{2 (1 + u)} d u = \frac{1}{12} \int \frac{1}{(1 - u)} + \frac{1}{(1 + u)} d u = \frac{1}{12} (\ln |1 - \sin (6 x)| + \ln |1 + \sin (6 x)|) + C,$

vilket tyvärr inte heller är rätt...

jag provade att derivera ditt svar, nog tycker jag att det är rätt.

Jvpm skrev:
$\frac{1}{6} \int \frac{1}{2 (1 - u)} + \frac{1}{2 (1 + u)} d u = \frac{1}{12} \int \frac{1}{(1 - u)} + \frac{1}{(1 + u)} d u = \frac{1}{12} (\ln |1 - \sin (6 x)| + \ln |1 + \sin (6 x)|) + C,$

vilket tyvärr inte heller är rätt...

Ett teckenfel på en term i integralen.

Dr. G skrev:
Jvpm skrev:
$\frac{1}{6} \int \frac{1}{2 (1 - u)} + \frac{1}{2 (1 + u)} d u = \frac{1}{12} \int \frac{1}{(1 - u)} + \frac{1}{(1 + u)} d u = \frac{1}{12} (\ln |1 - \sin (6 x)| + \ln |1 + \sin (6 x)|) + C,$

vilket tyvärr inte heller är rätt...

Ett teckenfel på en term i integralen.

Precis! Fick just en förklaring på uppgiften på mailen av min handledare.

Jag hade missat att $\int \frac{1}{1 - x} d x = [1 - x = u, d u = - d x] = - \ln |1 - x|$ .

Det var där teckenfelet (eller snarare okunskap som nu är förbytt till nykunskap) smugit sig in!

Om man använde Dracaenas snygga förlängning i början blir svaret $\frac{1}{12} \ln |\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}| + C$ .

Om man gick via den (kanske klumpigare) substitutionen som jag skrev i första inlägget så blir rätt svar istället

$\frac{1}{6} \ln |\frac{1 + \tan (3 x)}{1 - \tan (3 x)}| + C$ vilket är samma sak som det tidigare (via trixande med trigonometriska identiteter).

Tack alla! :-)

Svara

Visa senaste svar