Integrationsteori

Låt oss titta på funktionsekvensen $\{f_n\}$ som definieras genom

$f_n(x) = \cos^n(x) e^{-x}$

Vi har här en situation där vi har ett gränsvärde av integraler

$\lim_n \int f_n dx$

vilket kan föra våra tankar till det monotona konvergensteoremet inom (Lebesque) integrationsteori då detta är en av grundsatserna. Denna handlar egentligen (i min litteratur om) om strikt positiva funktioner men man får här vara lite kreativ och inse att den även gäller i detta fall. Man får bara dela upp integralen i två delar, enp positiv och en negativ, och applicera satsen på vardera del och även om det kan vara lite jobbigt att göra så är det konceptuellt inte så avancerat och jag väljer att hoppa över den detaljen utan fortsätta som att det var gjort. (Att $e^{-x}$ tagits med av uppgiftsförfattaren är nog just för att göra de delbevisen så enkla som möjligt)

Så monotona konvergensteoremet säger att 

$\lim_n \int f_n dx = \int (\lim_n f_n)dx$ 

dvs att man får flytta in gränsvärdet i integralen förutsatt att en rad kriterier gäller vilka här alla gäller, exempelvis att funktionssekvesnen är avtagande $f_{k + 1}(x) < f_k(x)$ (i det här sammanhanget att absolutbeloppen är avtagande) samt att alla funktioner är integrerbara. (Kontrollera dem)

Men när vi har alla kontroller gjorda så är det bara en fråga om att fundera på vad som händer med 

$f(x) = \lim_n f_n(x) = \lim_n \cos^n(x) e^{-x}$

Denna sekvens konvergerar mot en funktion som är 0 nästan överallt eftersom $\cos^n(x) \to 0$ när $n\to \infty$ för alla x som inte är multipler av $\pi$ då cosinusvärdena då har absolutbelopp mindre än 1. 

Om nu $f(x) = 0 \, \text{(a.e)}$ så har vi fått en integral över en funktion som är 0 för allt utom uppräkneligt oändligt många isolerade punkter och de påverkar inte integralens slutvärde utan vi får bara en $\int 0 dx = 0$-situation. 

Tillämpa Dominerade konvergenssatsen på funktionsföljden $(f_n)$ och den begränsande funktionen $g$ där $f_n(x) = e^{-x}\cos^nx$ och $g(x) = e^{-x}$ där $0<x<\infty.$ 

Först måste du visa att för varje fixerat $x \in(0,\infty)$ konvergerar talföljden $(f_n(x))$ mot talet $0$. Dominerade konvergenssatsen ger då att det sökta gränsvärdet är integralen av noll-funktionen över intervallet $(0,\infty).$