Integration över kompakt yta

$$\begin{gathered} x=(2+\cos \theta )\cos \phi \\ y=(2+\cos \theta )\sin \phi \\ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{(2+\cos \theta )}^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )}=(2+\cos \theta ) \end{gathered}$$

Eftersom det är absolutbeloppet av funktionaldeterminanten = $(2+\cos \theta )\sin \theta$

du behöver i integralen måste du fundera på när den är positiv respektive negativ.

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} x=(2+\cos \theta )\cos \phi \\ y=(2+\cos \theta )\sin \phi \\ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{(2+\cos \theta )}^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )}=(2+\cos \theta ) \end{gathered}$$

$\left|\frac{\partial r}{\partial \phi }\times \frac{\partial r}{\partial \theta }\right|=2+\cos \theta$

${\int }_S\sqrt{x^2+y^2}dS=\iint (2+\cos \theta )(2+\cos \theta )d\phi d\theta$

Så här borde det vara.

henrikus skrev:

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} x=(2+\cos \theta )\cos \phi \\ y=(2+\cos \theta )\sin \phi \\ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{(2+\cos \theta )}^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )}=(2+\cos \theta ) \end{gathered}$$

$\left|\frac{\partial r}{\partial \phi }\times \frac{\partial r}{\partial \theta }\right|=2+\cos \theta$

${\int }_S\sqrt{x^2+y^2}dS=\iint (2+\cos \theta )(2+\cos \theta )d\phi d\theta$

Så här borde det vara.

Har nu kommit fram till samma som du skrev, men problemet kvarstår fortfarande hur jag ska dela upp beräkningarna eftersom det är en kompakt yta... svaret ska bli 36*pi^2

Jag är inte så orolig för att ytan är kompakt. Tror bara att det är att beräkna integralen.

$$\begin{gathered} \iint {(2+\cos \theta )}^{2}d\theta d\phi =2\pi \int {(2+\cos \theta )}^{2}d\theta =2\pi \int (4+4\cos \theta +{\cos }^2\theta )d\theta = \\ 2\pi (8\pi +0+\int \frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta )=2\pi (8\pi +\pi )=18{\pi }^2 \end{gathered}$$

Verkar saknas en faktor 2.