Integration allitteration

Hej!

Integralen är

    $\int \frac{1}{1+e^{x}}\,\text{d}x.$

En metod jag kommer att tänka på är

$\frac{1}{1+e^x} = \frac{1+e^x-e^x}{1+e^x} = 1 - \frac{e^x}{1+e^x}$

Så

$\int \frac{1+e^x} dx = \int dx - \int \frac{e^x}{1+e^x} dx =$

$[t = e^x \Rightarrow dt = e^x dx]$

$= x - \int \frac{1}{1+t} dt = x - \ln |1+t| + C = x - \ln (1+e^x) +C$

Hej!

Det var ett sätt; det återstår fyra!

En idé är att använda geometrisk serie.

    $\displaystyle\frac{1}{1-(-e^x)} = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}e^{kx}\ .$

Integralen blir

    $\displaystyle x + C - \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-e^{x})^{k+1}}{k+1}$

och man känner igen Maclaurinserien för funktionen $\ln(1-x).$

Hej!

En tredje metod kan vara att skriva integranden såhär.

    $\displaystyle\frac{1}{1+e^{x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$

och notera att

    $\frac{d\ln (1+e^{-x})}{dx} = -\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$

så att integralen blir

    $\displaystyle C - \ln (1+e^{-x})\ .$

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

En tredje metod kan vara att skriva integranden såhär.

    $\displaystyle\frac{1}{1+e^{x}} = \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$

och notera att

    $\frac{d\ln (1+e^{-x})}{dx} = -\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$

så att integralen blir

    $\displaystyle C - \ln (1+e^{-x})\ .$

Albiki

Snitsigast hittills!

Det återstår två.

Kom igen Pluggakuten!

Här kommer mitt förslag:

$y = \int^x \frac{1}{1+e^u} du$

Sätt $x = \ln t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} F(\ln t)$

$\frac{dy}{dt} = F'(\ln t) \cdot \frac{1}{t}$

$\frac{dy}{dt} = f(\ln t) \cdot \frac{1}{t}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$

$A(t+1) + Bt = 1 \Rightarrow A = 1, A+B = 0 \Rightarrow B = -1$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$

$y = \ln t - \ln (t+1) + C$

$t = e^x \Rightarrow$

$y = \ln e^x - \ln (1+e^x) + C$

$y = x - \ln (1+e^x) + C$

En lösning till nedan:

Där kom ytterligare två metoder! Snyggt jobbat Tomas! Gillar särskilt din trigonometriska lösning.

Vad är det som gör att just denna integral kan beräknas på så många sätt?

Om ni har fler metoder att beräkna

    $\displaystyle\int \frac{1}{1+e^{x}}\,\text{d}x$

så är ni välkomna att fylla på denna tråd. Ju fler metoder, desto bättre!

Jag trodde inte att vi skulle kunna finna fem finurliga metoder, men tji fick jag. Kanske finns det fler?

Albiki skrev :

Där kom ytterligare två metoder! Snyggt jobbat Tomas! Gillar särskilt din trigonometriska lösning.

Tack Albiki! Rolig uppgift!