Integration

Svar på din fråga: Ja, det är OK att omvandla dessa två minustecken till ett plustecken.

Sen blir det fel i den här övergången:

===========

Gör istället så att du utför partiell integration två gånger. Då får du tillbaka cos(x) i integranden. Du kan då lösa ut den integralen och beräkna den utifrån det.

Så här: Kalla ursprungsintegralen I₁.

Efter partiell integration får du I₁ = f(x)+I₂, där f(x) är en funktion som innehåller både e^2x och cosinus och där I₂ är en integral med ett sinusuttryck i sig.

Om du nu utför partiell integration på I₂ så får du I₂ = g(x)+k•I₁, där g(x) är en funktion som innehåller både e^2x och sinus och där k är en konstant.

Du får alltså till slut I₁ = f(x)+g(x)+k•I₁

Nu kan du lösa ut I₁ ur denna ekvation.

1/2e^2x ∙ cosx + (e^2x/8∙cosx - ∫e^2x/8∙sinx dx=

=1/2e^2x∙ cosx + (e^2x/8∙cosx - (e^2x/10∙(-cosx)))+c=

=1/2e^2x∙ cosx + 1/8e^2x∙cosx + 1/10e^2x ∙ cosx+c

Jag är osäker på om teckenomvandlingen blev rätt här? Jag skulle vanligen omvandla såhär

1/2e^2x ∙ cosx + (e^2x/8∙cosx - ∫e^2x/8∙sinx dx=

=1/2e^2x∙ cosx + (e^2x/8∙cosx - (e^2x/10∙(-cosx)))+c=

=1/2e^2x∙ cosx + 1/8e^2x∙cosx - 1/10e^2x ∙ cosx+c

Men det var ju inte så innan integreringen, alltså

 e^2x/2 ∙ cosx − ∫e^2x/2∙(-sinx) dx =

=e^2x/2 ∙ cosx + ∫e^2x/2∙sinx dx

Du kan (och bör) alltid kontrollera ditt förslag på primitiv funktion genom att derivera det och se om du då får tillbaka ursprungsfunktionen.

Jag förstår inte riktigt dina uträkningar. Kan du beskriva vad du utgår ifrån och vad du gör i de olika stegen?

Jag utgår från formeln ∫f(x)g(x)dx=F(x)(g) - ∫F(x)g'(x) dx

Då börjar jag med att hitta den primitiva funktionen till e^2x som jag får till e^2x/2

Sedan hittar jag derivatan till cos(x) som jag får till (-sinx)

Därefter sätter jag in värdena in i formeln och får

∫e^2x∙ cosx dx = e^2x/2 ∙ cosx − ∫e^2x/2∙(-sinx) dx

Sedan integrerar jag integralen och får

∫e^2x∙ cosx dx = ((e^2x/2) ∙ cosx) + ((e^2x/4)∙cosx)

Jag förstod inte riktigt vad du menade med vilka termer som hör till vad i I₁=f(x)+g(x)+k∙I₁

Jag fick fram I₁=e^2x∙cosx+e^2x∙sinx+k∙I₁

Men jag förstår inte varför jag ska göra så

Det här är fortfarande fel. Du måste använd partiell integration även för att lösa ut integralen med e^2x/2•(-sin(x)):

Börja istället så här:

Kommer du vidare då?

Ja! Tack så jättemycket för hjälpen. lärde mig en hel del :)

Vad bra.

Om du, liksom jag, har svårt att komma ihåg formeln för partiell integration (jag är ganska usel på att lära mig saker utantill) så kan du använda följande "härledming" från produktregeln, dvs formeln för derivatan av en produkt:

Derivatan av produkten av funktionerna f och g kan skrivas så här:

(fg)' = f'g + fg'

Om vi nu integrerar bägge sidor får vi

$\int (fg)'=\int f'g+\int fg'$, dvs

$fg=\int f'g+\int fg'$

Subtrahera $\int f'g$ från båda sidor:

$\int fg'=fg-\int f'g$

Det skriver jag ned! Tack :)

Kan du lägga hela svaren kan ej komma vidare med min.

studenten f skrev:

Kan du lägga hela svaren kan ej komma vidare med min.

Starta en egen tråd med din fråga och visa hur långt du har kommit så får du snabbare och bättre svar.

Yngve har rätt – det blir mindre rörigt här i tråden, och du får snabbare svar, orm du gör en egen tråd. /Smutstvätt, moderator