Ski03 behöver inte mer hjälp
Ski03 178
Postad: 4 okt 2023 16:41

Integraluppgift

Hur får man fram en primitiv funktion av f(x)? Det är uppgift b) som jag behöver hjälp med.

Enligt facit är svaret 0. Jag misstänker att uppgift b) har någon koppling till a), men är väldigt osäker.

Tacksam för hjälp :).

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 4 okt 2023 16:49

Ja, det har koppling.

Dela upp integralen I i två delar, I1 och I, där I1 går från -1 till 0 och I2 går från 0 till 1.

Du har då att I1+I2 = I.

Använd nu att du vet att integranden f(x) är en udda funktion.

Ski03 178
Postad: 4 okt 2023 16:59

Jag förstod inte. Vad är primitiva funktionen?

Ture Online 10337 – Livehjälpare
Postad: 4 okt 2023 17:39

Du behöver inte primitiva funktionen 

se här:

https://www.pluggakuten.se/trad/vad-ar-skillnaden-mellan-nollmangder-och-udda-jamna-funktioner/

i korthet gäller 

Om man integrerar en udda funktion över ett intervall som är symmetriskt m a p y-axeln blir integralen 0, eftersom den "positiva ytan" på ena sidan om axeln är lika stor som den "negativa ytan" på den andra sidan.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 4 okt 2023 18:20 Redigerad: 4 okt 2023 18:24

Ett annat sätt att komma fram till samma resultat är att göra variabelsubstitutionen x=-tx=-t I integralen I1I_1.

Vi får då att

  • dx=-dt\operatorname dx=-\operatorname dt
  • x=-1x=-1 ger t=1t=1
  • x=0x=0 ger att t=0t=0

I1=-10f(x)dx=-10f(-t)dtI_1=\int_{-1}^{0}f(x)\operatorname dx=-\int_{1}^{0}f(-t)\operatorname dt

Eftersom abf(x)dx=-baf(x)dx\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx=-\int_{b}^{a}f(x)\operatorname dx så får vi att I1=01f(-t)dtI_1=\int_{0}^{1}f(-t)\operatorname dt

Eftersom ff är udda så gäller att f(-t)=-f(t)f(-t)=-f(t), vilket ger oss att I1=-01f(t)dtI_1=-\int_{0}^{1}f(t)\operatorname dt

Vi har alltså att I1=-I2I_1=-I_2, vilket ger oss att I=I1+I2=0I=I_1+I_2=0

Ski03 178
Postad: 5 okt 2023 11:52

Jag förstår inte hur jag ska visa det. Jag förstår att det blir en symmetri från -1 till 0 respektive 0 till 1. Men hur ska jag göra b) enligt ”bestäm” som det står i frågan?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 5 okt 2023 11:55 Redigerad: 5 okt 2023 11:55

"Bestäm" betyder här att du ska beräkna värdet.

Du ska alltså ta reda på integralens värde.

Ski03 178
Postad: 5 okt 2023 11:56

Det förstår jag, men hur ska jag göra det?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 5 okt 2023 11:59

Det har Ture beskrivit i svar #4 och jag å ett annat sätt i svar #5.

Ski03 178
Postad: 5 okt 2023 12:01

Jag förstod inte Ioch I2, samt variabelsubstitutionen.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 5 okt 2023 12:05

OK, men förstod du Tures resonemang?

Ski03 178
Postad: 5 okt 2023 12:09

Jag tror det. Får väl skriva ut att integralen är 0, men att jag ger en förklaring skriftligt till varför, det vill säga att ”Integralens värde till vänster om y-axeln är lika stor som integralens värde till höger om y-axeln, vilket ger av symmetrin att den är 0”.

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 5 okt 2023 12:33
Ski03 skrev:

Jag tror det. Får väl skriva ut att integralen är 0, men att jag ger en förklaring skriftligt till varför, det vill säga att ”Integralens värde till vänster om y-axeln är lika stor som integralens värde till höger om y-axeln, vilket ger av symmetrin att den är 0”.

OK, men du bör då skriva att integralens värde till vänster om y-axeln är lika stort som det till höger om y-axeln, fast med omvänt tecken.

Svara
Close