Integraluppgift

Ja, det har koppling.

Dela upp integralen I i två delar, I₁ och I, där I₁ går från -1 till 0 och I₂ går från 0 till 1.

Du har då att I₁+I₂ = I.

Använd nu att du vet att integranden f(x) är en udda funktion.

Jag förstod inte. Vad är primitiva funktionen?

Du behöver inte primitiva funktionen 

se här:

https://www.pluggakuten.se/trad/vad-ar-skillnaden-mellan-nollmangder-och-udda-jamna-funktioner/

i korthet gäller 

Om man integrerar en udda funktion över ett intervall som är symmetriskt m a p y-axeln blir integralen 0, eftersom den "positiva ytan" på ena sidan om axeln är lika stor som den "negativa ytan" på den andra sidan.

Ett annat sätt att komma fram till samma resultat är att göra variabelsubstitutionen $x=-t$ I integralen $I_1$.

Vi får då att

• $\operatorname dx=-\operatorname dt$
• $x=-1$ ger $t=1$
• $x=0$ ger att $t=0$

$I_1=\int_{-1}^{0}f(x)\operatorname dx=-\int_{1}^{0}f(-t)\operatorname dt$

Eftersom $\int_{a}^{b}f(x)\operatorname dx=-\int_{b}^{a}f(x)\operatorname dx$ så får vi att $I_1=\int_{0}^{1}f(-t)\operatorname dt$

Eftersom $f$ är udda så gäller att $f(-t)=-f(t)$, vilket ger oss att $I_1=-\int_{0}^{1}f(t)\operatorname dt$

Vi har alltså att $I_1=-I_2$, vilket ger oss att $I=I_1+I_2=0$

Jag förstår inte hur jag ska visa det. Jag förstår att det blir en symmetri från -1 till 0 respektive 0 till 1. Men hur ska jag göra b) enligt ”bestäm” som det står i frågan?

"Bestäm" betyder här att du ska beräkna värdet.

Du ska alltså ta reda på integralens värde.

Det förstår jag, men hur ska jag göra det?

Det har Ture beskrivit i svar #4 och jag å ett annat sätt i svar #5.

Jag förstod inte I₁ och I₂, samt variabelsubstitutionen.

OK, men förstod du Tures resonemang?

Jag tror det. Får väl skriva ut att integralen är 0, men att jag ger en förklaring skriftligt till varför, det vill säga att ”Integralens värde till vänster om y-axeln är lika stor som integralens värde till höger om y-axeln, vilket ger av symmetrin att den är 0”.

Ski03 skrev:

Jag tror det. Får väl skriva ut att integralen är 0, men att jag ger en förklaring skriftligt till varför, det vill säga att ”Integralens värde till vänster om y-axeln är lika stor som integralens värde till höger om y-axeln, vilket ger av symmetrin att den är 0”.

OK, men du bör då skriva att integralens värde till vänster om y-axeln är lika stort som det till höger om y-axeln, fast med omvänt tecken.