Integraltransformer: klassen ε_k

$\varepsilon_k=\{ f: [0,\infty] \rightarrow \mathbb{R} : f kont, det finns M: |f(x)|<Me^{kx} for all x>0\}.$

Och så är $\displaystyle \varepsilon = \bigcup_{k \in \mathbb{R}^+} \varepsilon_k$ .

Men vad kallas klassen av funktioner $\varepsilon$ ? Jag kan inte hitta något online om den alls.

Jag borde ha infogat en screenshot istället:

Måste det finnas ett namn? Klart är att det är ett vektorrum under punktvis addition och multiplikation med skalär. Med tanke på den angivna unionen lär det bli svårt att få det till ett Banachrum. Finns det någon angiven metrik? Eftersom jag saknar matematiska symboler på min dator kallar jag den angivna definitionsmängden för D. De kontinuerliga funktionerna på D brukar då skrivas C(D). Just den exponentiella dominansen har jag aldrig sett förut. Kan du ge exempel på en relevant integraltransform på rummet ifråga?

Måste det finnas ett namn?

Ja jag tänkte det, det verkar vara en viktig konstruktion.

Boken säger inget mer om en vektorrumsstruktur på den men jag tror att det är ett banachrum. Det är bara C(0,infty) med extra krav om dess tillväxthastighet.

Kan du ge exempel på en relevant integraltransform på rummet ifråga?

Ja, Laplacetransformen såklart!

Jag vet bara en liknande konstruktion där det underliggande rummet får ett särskilt namn: De tempererade distributionerna huserar på en mängd som brukar kallas S (skriv-S). S är en mängd av funktioner, som med alla sina derivator går mot 0 även om man först multiplicerar dem med ett godtyckligt polynom.

Laplacetransformen ser vid en vårdslös snabbtitt trevlig ut på det aktuella rummet. Månne den producerar begränsade funktioner?

Naturligtvis kan man inte döma ut möjligheten till Banach innan man ser metriken. Men ditt rum rymmer en funktionsföljd beroende på ett k som går mot oändligheten. Inte lätt att få tillbaka den anden i sin flaska.

Svara

Visa senaste svar