Integralkriteriet

Hej,

Jag skulle nog tänkt att givet ett tillräckligt stort $N>1$ så gäller att för alla $k>N$, $\ln\left(k\right)>1$.

När jag kollar på kurvan i Desmos så skär den i x-axeln i punkten (1,0) och när x>1 så är kurvan över x-axeln och positiv. Det här hade man också kunnat fått fram om jag stoppade in:

X=1: y=$\frac{\ln 1}{1}$$=0$, så koordinaten (1,0) skär funktionen x-axeln.

Om man ska kolla efter större x-värden då intervallet har oändligheten i sig:

x=e $\approx 2,72$: y=$\frac{\ln e}{e}$$=\frac{1}{e}\approx 0,3$

x=$e^2$: y=$\frac{\ln e^2}{e^2}$=$\frac{2\ln e}{e^2}$=$\frac{2}{e^2}$$<0,3$

x=$e^{10}$: y=$\frac{10}{e^{10}}$<0,3  (mycket mindre än 0,3, går nästan mot noll)

Men när det ska avta, ska det avta ju större x är eller ju mindre x är?

Eftersom det är ett standardgränsvärde så antar jag att du redan känner till att $\displaystyle\lim _{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0$, dvs. för tillräckligt stora värden på $x$ så gäller att $x> \ln x$. 

Min tanke var att du skulle använda jämförelsesatsen. Alltså, om du kan hitta en positiv funktion $g\left(k\right)$ sådan att $\displaystyle g\left(k\right)\le \frac{\ln\left(k\right)}{k}$ där $\displaystyle\sum_k g\left(k\right)$ är divergent, så gäller även att summan $\displaystyle\sum_k \frac{\ln\left(k\right)}{k}$ är divergent (och liknande argument kan användas för konvergens). 

Aha, tack!