Integralkalkyl

Nej, talet motsvarar inte arean för integrationsområdet. Den arean skulle du ha fått om du hade integrerat funktionen f(x,y) = 1 över det aktuella omrädet.

Talet kan ses som "volymen" under funktionsytan

$\displaystyle z\left(x,y\right)=e^{-4x^{2}-16y^{2}}$

över området D.

Hej igen! Vinkeln över området D är tydligen fel, då $0\le x\le y \Rightarrow 0\le \frac{1}{4}r\sin \phi \le \frac{1}{2}r\cos \phi \iff 0\le \tan \phi \le 2$. Svaret ska då bli $\frac{1}{16}arc\tan 2$.

När jag har arbetat med sfäriska koordinater så utläser vi vinklar på ett område D på detta vis. I vilket fall blir denna vinkel ej $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$?

För vilka $r$ och $\phi$ blir $y=x$ om:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}r\cos \phi \\ y=\frac{1}{4}r\sin \phi \end{array}\right.$

Ebola skrev:

För vilka $r$ och $\phi$ blir $y=x$ om:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}r\cos \phi \\ y=\frac{1}{4}r\sin \phi \end{array}\right.$

Förklaring

Du har skalat om när du konverterat mellan kartesiska och polära koordinater för att lättare lösa den gaussiska integralen. Därmed blir vinkeln genom skalning inte den du tror utan istället vinkeln $\arctan \left(2\right)$.

Tack ska du ha!