Integralkalkyl

Det är inte något r med i r-derivatorna, eller hur? 

okej så det blir $\left|\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right|$ =$(r{\cos }^2\phi +r{\sin }^2)$=r(${\cos }^2+{\sin }^2$)=r

Nästa steg ska bli ${\iint }_E(r\cos \phi +r\sin \phi {)}^2÷1+r^{2}rdrd\phi$

ettan i nämnaren får jag ju från den ursprungliga integralen, r^2 måste vara lika med x^2+y^2 i täljaren ersätter jag bara x och y med deras polära koordinater och får (rcosfi+rsinfi)^2

drd$\phi$ är jag med på min det första r, är det funktionaldeterminanten?

Efter det är jag lite vilsen, nästa steg ska bli

${\int }_0^1{r}^3÷1+r^{2}dr\times {\int }_0^{2\pi }(1+2\sin \phi \cos \phi )d\phi$

gränsen 2pi och 0 får dom väl från enhetscirkelskivan? men jag är osäker på r^3/1+r^2 och 1+2sinficosfi

${\int }_0^1{r}^3÷1+r^2$dr kommer väl från att man integrerar med avseende på cos och ${\int }_0^{2\pi }(1+2\sin \phi \cos \phi )d\phi$ när man integrerar med avseende på sin, men jag är fortfarande inte med på hur man kommer fram till det.

Vilket är minsta och vilket är största värde r kan ha inom enhetscirkeln?

Funktionaldeterminanten räknade du ut och fick till r. Alltså ska dx dy bytas ut mot r dr dfi.

största värde inom enhetscirkeln blir väl 2$\pi$ och minsta 0

r betyder avståndet till origo. Hur långt kan det vara i enhetscirkeln?

är det inte 1?

Jo, det är klart. Varför skrev du då 2 pi?

blev lite vilse där.

Så gränserna från enhetscirkelskivan är klara men problemet är hur de får fram r^3/1+3^2 och 1+2sinficosfi i

${\int }_0^1{r}^3/1+r^{2}dr\times {\int }_0^{2\pi }(1+2\sin \phi \cos \phi )d\phi$

2sin$\phi \cos \phi$ är väl derivatan av ($\cos \phi \sin \phi {)}^2$ som man får om man deriverar med avseende på $\phi$ men var kommer ettan från?

Trigonometriska ettan.

okej, jag vet nu hur dom får fram $1+2\sin \phi \cos \phi$ och för täljaren finns ju 1+r^2 från tidigare och r^3 blir ju primitiven till r^2 men borde man inte sätta 1/3r^3? annars blir det ju 3r^2

Sen har jag bara sista steget kvar att räkna ut

${\int }_0^1(r-r/1+r^2)dr*[\phi +{\sin }^2\phi {{]}^{2\pi }}_0=2\pi [r^2/2-1/2\ln (1+r^2){{]}^1}_0=\pi (1-\ln 2)$

Där är jag inte riktigt med.

Vad är du inte med på? Man gör om r^3/(1+r^2) till (r^3+r-r)/(1+r^2) som är r - r/(1+r^2).

Hej!

Eftersom integrationsområdet ($D$) är en cirkel och integranden innehåller uttrycket $x^2+y^2$ så är det en bra idé att byta till polära koordinater. Integranden blir då lika med funktionen

    $\displaystyle \frac{(r\cos \phi+r\sin\phi)^2}{1+r^2} = (\cos\phi+\sin\phi)^2\frac{r^2}{1+r^2}.$

Kvadreringsregeln låter dig skriva

    $\displaystyle (\cos\phi+\sin\phi)^2 = \cos^2\phi + 2\cos\phi\sin\phi + \sin^2\phi.$

Trigonometriska ettan och Formeln för Sinus för dubbla vinkeln ger

    $(\cos\phi+\sin\phi)^2 = 1 + \sin 2\phi.$

Integranden kan alltså splittras upp i den funktion som bara beror på $r$ och en funktion som bara beror på $\phi.$

    $\displaystyle\frac{(r\cos \phi+r\sin\phi)^2}{1+r^2} = \frac{r^2}{1+r^2}\cdot(1+\sin2\phi).$

Nu gäller det att fokusera på integrationsområdet.

Enhetscirkeln i rektangulära $xy$-koordinater transformeras till en rektangel i $r\phi$-koordinater, mer specifikt till $r\phi$-rektangeln $[0,1]\times [0,2\pi]$. Sedan kommer det rektangulära differentialelementet $dxdy$ att transformeras till det polära differentialelementet $r\,drd\phi.$

Den givna dubbelintegralen kan därför uttryckas på följande sätt.

    $\left(\int_{r=0}^{1}\frac{r^3}{1+r^2}\,dr\right)\cdot\left(\int_{\phi=0}^{2\pi}(1+\sin2\phi)\,d\phi\right)\ .$

Den första av dessa integraler blir enkel att beräkna om man skriver om integranden litet grand.

    $\displaystyle \frac{r^3}{1+r^2} = r\cdot \frac{r^2}{1+r^2} = r \cdot (1 - \frac{1}{1+r^2}) = r - r \cdot \frac{1}{1+r^2}.$

Notera sedan att derivatan av $(1+r^2)$ med avseende på $r$ är lika med $2r$.

Albiki

okej, så då får jag primitiven till $r^3/1+r^2$ genom $r-r/1+r^2$ 

primitiven till 1+2sin$\phi$ blir $\phi +{\sin }^2\phi$

tillsammans blir det då $(r-r/1+r^{2}dr*[\phi +{\sin }^2\phi {{]}_0}^{2\pi }$

Efter det ska det bli

$2\pi [r^2/2-1/2\ln (1+r^2){{]}_0}^1$

När du skriver $r^3/1+r^2$ betyder det $\frac{r^3}{1}+ r^2$. Förmodligen  menar du $r^3/(1+r^2)$ som betyder $\frac{r^3}{1+r^2}$. Se till att skriva vad du menar, gärna med långt bråkstreck men åtminstone med korrekta parenteser!

ja jag menar$\frac{r^3}{1+r^2}$ jag var lite otydlig där, ber om ursäkt

Idil M skrev :

okej, så då får jag primitiven till $r^3/1+r^2$ genom $r-r/1+r^2$ 

primitiven till 1+2sin$\phi$ blir $\phi +{\sin }^2\phi$

tillsammans blir det då $(r-r/1+r^{2}dr*[\phi +{\sin }^2\phi {{]}_0}^{2\pi }$

Efter det ska det bli

$2\pi [r^2/2-1/2\ln (1+r^2){{]}_0}^1$

 Hej!

Nu är det funktionen $(1+\sin 2\phi)$ som ska integreras, och inte funktionen $(1+2\sin \phi)$; resultatet blir $2\pi$ i båda fallen, men hade detta varit en tentauppgift så hade du inte fått poäng bara för att resultaten råkar blir samma. Se till att du inte gör samma tabbe på tentan.

Albiki

Hej!

Primitiven till (den felaktiga) funktionen $(1+2\sin \phi)$ är inte $\phi + \sin^2\phi$; den blir $\phi -2\cos\phi.$ Se till att repetera derivering av enkla trigonometriska funktioner. Det är synd att snubbla över så små saker på tentan.

Albiki

Idil M skrev :

okej, så då får jag primitiven till $r^3/1+r^2$ genom $r-r/1+r^2$ 

primitiven till 1+2sin$\phi$ blir $\phi +{\sin }^2\phi$

tillsammans blir det då $(r-r/1+r^{2}dr*[\phi +{\sin }^2\phi {{]}_0}^{2\pi }$

Efter det ska det bli

$2\pi [r^2/2-1/2\ln (1+r^2){{]}_0}^1$

okej så i $2\pi {{\left|\begin{array}{cc}\frac{r^2}{2}& 1/2\ln (1+r^2\end{array})\right|}_0}^1$

$\frac{r^2}{2}$ blir r, men jag är mer osäker på hur 1/2ln(1+$r^2$) blir $\frac{r}{1+r^2}$ 

Vad ärintegralen av en logaritmfunktion?

Vad är inre derivatan av $1+r^2$?

Hej!

Om du menar derivera så får du skriva derivera. Du kan inte förutsätta att vi och din lärare är tankeläsare. När man arbetar med matematik är det viktigt att få detaljerna rätt (så gott det går) annars kan beräkningarna gå helt åt skogen.

När du redovisar dina svar på tentan så ska du visa hur du tänker. Skriv några korta kommentarer för att beskriva vad det är som du beräknar, vilka satser och räkneregler som du använder vid en viss beräkning, och så vidare. Du behöver inte skriva en lång uppsats för varje uppgift, men tillräckligt för att läraren ska kunna förstå dina tankegångar. Det man absolut inte ska göra är att bara redovisa en massa lösryckta beräkningar, skrivna huller om buller.

Kedjeregeln ger att derivatan av $\frac{1}{2}\ln(1+r^2)$ är lika med $\frac{r}{1+r^2}.$

Albiki

Idil M skrev :

okej så i $2\pi {{\left|\begin{array}{cc}\frac{r^2}{2}& 1/2\ln (1+r^2\end{array})\right|}_0}^1$

$\frac{r^2}{2}$ blir r, men jag är mer osäker på hur 1/2ln(1+$r^2$) blir $\frac{r}{1+r^2}$ 

Håller med Albiki! Det viktiga är inte att få fram rätt svar (även om det är en fördel), det viktiga är att redovisa steg för steg hur man tänker och resonerar. Det är också viktigt att använda ett korrekt metematiskt språk, så att det inte blir några missförstånd där. Och kom ihåg parenteser när de behövs! Hellre för många än för få.

smaragdalena skrev :

... viktigt att använda ett korrekt metematiskt språk ....

 Humor. ;-)

Jag vet att jag ibland skriver snabbare än att det blir rätt, men jag är mycket medveten om att det inte är bra. Men jag tror det är viktigare att svara snabbt, och när jag märker att fingrarna rört sig fortare än hjärnan,kan man (numera) inte redigera det.

smaragdalena skrev :

Jag vet att jag ibland skriver snabbare än att det blir rätt, men jag är mycket medveten om att det inte är bra. Men jag tror det är viktigare att svara snabbt, och när jag märker att fingrarna rört sig fortare än hjärnan,kan man (numera) inte redigera det.

Nej jag skojar med dig. Det var ju bara en rolig flerstavning ;-)

1 troll-inlägg borttaget. /moderator

NU först ser jag att det var ett e när det borde varit ett a - trots att du pekade med hela handen!

smaragdalena skrev :

NU först ser jag att det var ett e när det borde varit ett a - trots att du pekade med hela handen!

Även oavsiktlig humor är humor :-D

$2\pi {{\left|\begin{array}{cc}\frac{r^2}{2}-& \frac{1}{2}\end{array}\ln (1+r^2)\right|}_0}^1$

Jag börjar med att sätta in 1 och sedan 0

$2\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln (2\left)\right)-(-\frac{1}{2}\ln (1\left)\right)$ = $2\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln (2)+\frac{1}{2}\ln (1\left)\right)$

ln(1) = 0 så 1/2ln(1)= 0

så kvar har jag

$2\pi (\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln (2\left)\right)$

svaret ska ju bli $\pi (1-\ln (2\left)\right)$ så någonstans gör jag fel.

Idil M skrev 

så kvar har jag

2π(12-12ln(2))

svaret ska ju bli π(1-ln(2)) så någonstans gör jag fel.

 Multiplicera in tvåan i parentesen ...

Nej, det tror jag inte - multiplicera in tvåan!

okej, nu tror jag äntligen att allt har fallit på plats, tack så mycket för hjälpen :)

Idil M skrev :

okej, nu tror jag äntligen att allt har fallit på plats, tack så mycket för hjälpen :)

 Markera gärna att du är "nöjd med hjälpen" längst upp så att användare lättare kan se var hjälp behövs.

EDIT: Det ska stå: "Markera tråden som löst – jag har fått den hjälp jag behöver!"