Integraler, trigonometrisk substution

Hej! Jag klarade en sida om trigonomitreriska integraler men nu blandar de in substition i det. Då är det svårt att förstå hur författaren av boken hittar integrationsgränserna. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 H i t t a A r e a n i n e s l u t e n a v e l i p s e n (1 / 4) A r e a g e s a v y = \frac{b}{a} * \sqrt{a^2 - x^2} 0 \leq x \leq a \int_{0}^{a} \frac{b}{a} * \sqrt{a^2 - x^2} d x x = a * \sin θ d x = a * \cos θ d θ$

Så långt fattar jag men sen säger han att då blir integrationsgränserna

$\int_{0}^{π / 2}$ Varför det?

För att x går från 0 till a då, och det är det vi vill.

Ur $x=a\cdot\sin(\theta)$ kan man lösa ut att:

$\theta=\sin^{-1}(\dfrac{x}{a})$

Alltså är:

$x=0\Rightarrow\theta=\sin^{-1}(\dfrac{0}{a})=0$

$x=a\Rightarrow\theta=\sin^{-1}(\dfrac{a}{a})=\sin^{-1}\left(1\right)=\dfrac{\pi}{2}$

och hur såg du att x går från 0 till a ? Normalt sätter man in de gamla granserna i substutions-funktionen men det går väl inte här för det finns både a och $θ$ och x i x=asin $θ$ ?Var sätta in o och a då och hur få ett svar på det?

ah då förstår jag tror jag.

Eventuellt blir det klarare om man ritar.

Svara

Visa senaste svar