Integraler (svår)

Med partiell integration. Har ni gått igenom det så kan du lösa den. Dela upp i 2 först.

Skriv om funktionen som x + 1×lnx om du ska integrera den 

Kör primitiv på 1 och derivera ln x

Det är nog tänkt att man skall "gissa" sig fram genom att använda kedjeregeln/produkregeln baklänges. Detta är ganska vanligt i matte 4.

D(ln(x))=1/x men om vi har produkregeln i huvudet så blir det enklare.

Vår primitiva funktion måste bestå av ln(x) av något slag så det måste vara en produkt. Derivatan av x är ju 1 och av produkregeln vet vi att om $f(x)=h(x)g(x)$ fås $f'(x) = h'(x)g(x) + h(x)g'(x)$... 

Kommer du vidare?

Jag förstår inte hur jag ska kunna få fram en primitiv funktion av ln(x). Kan man tänka att ln(x) är samma sak som 1/x?

Nja det kan du inte

Intergralen av ln(x) blir x ln (x)- x 

Detta kan du få fram med hjälp av partiell integration 

Ja men det här ingår inte i ma4  så hur ska man testa sig fram?

Vår primitiva måste innehålla ln(x) och är en produkt eftersom att detivatan av ln(x) är 1/x  det skall vara en produkt som kan producera ln(x).

Vi vet att derivatan av x är 1 och då provar vi xln(x), vad får du då? 

om vi testar med att skriva den primitiva funktionen som x*ln(x)-x och deriverar enligt produktregeln då kommer vi att få tillbaka ln(x) 

Prova nu att integrera f(x) i uppgiften. Det är summan av två termer vilket ger att intrgrslen blir en summa av två integraler, du integrera alltså termvis och ln(x) har du ju redan ett förslag för.