Integraler: riktig tydlig förklaring av hur man ska räkna ut detta exempel

Steg 1: Rita en bild, lägg gärna upp  bilden här.

Steg 2: Vilken är integranden, d v s vilken funktion är det du vill integrera?

Smaragdalena skrev:

Steg 1: Rita en bild, lägg gärna upp  bilden här.

Steg 2: Vilken är integranden, d v s vilken funktion är det du vill integrera?

vänta integrandgränsen är 2,0 och 0,5 men integranden är väl v(t)=9,8*t som är detsamma som 9,8t? men om man deriverar 9,8t först innan man tar reda på primitiv funktion så blir det väl ... jag fick en snilleblixt. eftersom t står bakom 9,8 så kommer man ta den framför så blir det 9,8t^2 eller hur?

sofiakatarina skrev:

Smaragdalena skrev:

Steg 1: Rita en bild, lägg gärna upp  bilden här.

Steg 2: Vilken är integranden, d v s vilken funktion är det du vill integrera?

vänta integrandgränsen är 2,0 och 0,5 men integranden är väl v(t)=9,8*t som är detsamma som 9,8t? men om man deriverar 9,8t först innan man tar reda på primitiv funktion så blir det väl ... jag fick en snilleblixt. eftersom t står bakom 9,8 så kommer man ta den framför så blir det 9,8t^2 eller hur?

då blir det även enklare att använda sig av formlerna för att hitta primitiv funktion? 

Du har ställt den korrekta integralen (med rätt gränser och allt!) och du har redan börjat fundera på hur man ska integrera. Bra!

Men tänk på att derivatan av $9.8t^2$ är $19.6t$, så du behöver dela med två för att få tillbaka $9.8t$. Kanske är det det du pratar om när du säger "använda formlerna"?

Gör ett försök att lista ut den primitiva funktionen och sätt in gränserna!

D4NIEL skrev:

Du har ställt den korrekta integralen (med rätt gränser och allt!) och du har redan börjat fundera på hur man ska integrera. Bra!

Men tänk på att derivatan av $9.8t^2$ är $19.6t$, så du behöver dela med två för att få tillbaka $9.8t$. Kanske är det det du pratar om när du säger "använda formlerna"?

Gör ett försök att lista ut den primitiva funktionen och sätt in gränserna!

Ja alltså vilken av reglerna för primitiva funktioner är det man ska använda så man kan dela med två är det jag menar med ”formlerna”, då är det enligt formelsamlingen ”Funktion x^a —> (x^a+1)/(a+1)+C. där a är 1 då det finns en osynlig etta ovanför 19,6t.. då får man det till (19,6t^1+1)/(1+1)+C —> (19,6t^2)/2+C?

Nja, nästan rätt. Om du deriverar $\frac{19.6t^2}{2}$ får du $19.6t$ (testa!). Men du ville ju ha $9.8t$

Så vad händer om du deriverar $\frac{9.8t^2}{2}$?

Du behöver inte ha med integrationskonstanten $C$ när tar fram primitiva funktioner till bestämda integraler (dvs integraler som har bestämda gränser).

D4NIEL skrev:

Nja, nästan rätt. Om du deriverar $\frac{19.6t^2}{2}$ får du $19.6t$ (testa!). Men du ville ju ha $9.8t$

Så vad händer om du deriverar $\frac{9.8t^2}{2}$?

Du behöver inte ha med integrationskonstanten $C$ när tar fram primitiva funktioner till bestämda integraler (dvs integraler som har bestämda gränser).

då får jag 9,8 om jag tänker rätt 2*9,8t^2-1/2=19,6t^2-1/2=19,6t/2=9,8t?

aha.. får man minuspoäng för det? gör det bara för att vara tydlig...

Så den primitiva funktionen med insatta gränser är

$\displaystyle \left[\frac{9.8t^2}{2}\right]_{0.5}^2$

En eventuell integrationskonstant kommer ju dyka upp i uttrycket för båda gränserna ($+C$ respektive $-C$) och bidraget från konstanten blir alltså $0$ när du väl satt in den övre- och den undre gränsen. Därför brukar man strunta i den.

D4NIEL skrev:

Så den primitiva funktionen med insatta gränser är

$\displaystyle \left[\frac{9.8t^2}{2}\right]_{0.5}^2$

En eventuell integrationskonstant kommer ju dyka upp i uttrycket för båda gränserna ($+C$ respektive $-C$) och bidraget från konstanten blir alltså $0$ när du väl satt in den övre- och den undre gränsen. Därför brukar man strunta i den.

aha! så enkelt var det.. men sen spelar det någon roll vilken ordning man räknar ut övre och undre gräns eller kan man sätta ihop de på något vis inuti klammern eller utanför. asså beräkna varsin gräns för sig eller tillsammans...

Ja, du sätter in den övre gränsen först och den undre gränsen sist. Så här:

$\displaystyle \int_{0.5}^2 9.8t\,dt=\left[\frac{9.8t^2}{2}\right]_{0.5}^2=9.8\frac{2^2}{2}-9.8\frac{0.5^2}{2}\approx 18\mathrm{m}$

Allmänt gäller

$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$

D4NIEL skrev:

Ja, du sätter in den övre gränsen först och den undre gränsen sist. Så här:

$\displaystyle \int_{0.5}^2 9.8t\,dt=\left[\frac{9.8t^2}{2}\right]_{0.5}^2=9.8\frac{2^2}{2}-9.8\frac{0.5^2}{2}\approx 18\mathrm{m}$

Allmänt gäller

$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$

fattar inte helt riktigt varför det är 9,8t^2/2.. svaret blir ju 4,9^2... jag menar hur ska jag tänka när man tar reda på primitiv funktion? asså tankegången...

När man letar efter en primitiv funktion vill man alltså hitta en funktion vars derivata är det man försöker integrera.

När du tror att du har hittat en primitiv funktion ska du alltid derivera den och se att allt stämmer.

I det här fallet skulle vi integrera

$\displaystyle \int 9.8t\,dt$.

Nu kan det vara smart att inse att konstanten $9.8$ som står framför t kan sättas utanför integralen. Så här

$\displaystyle 9.8\int t\,dt$

Blir det lättare för dig att hitta en primitiv funktion till den integralen? I din formelsamling står det förmodligen något i stil med

$x\to \frac{x^2}{2}+C$

Nu gäller det alltså att inse att vi istället för x har ett t, att konstanten $C$ inte behövs, och att vi alltså får

$\frac{t^2}{2}$

Är du med?

D4NIEL skrev:

När man letar efter en primitiv funktion vill man alltså hitta en funktion vars derivata är det man försöker integrera.

När du tror att du har hittat en primitiv funktion ska du alltid derivera den och se att allt stämmer.

 

I det här fallet skulle vi integrera

$\displaystyle \int 9.8t\,dt$.

Nu kan det vara smart att inse att konstanten $9.8$ som står framför t kan sättas utanför integralen. Så här

$\displaystyle 9.8\int t\,dt$

Blir det lättare för dig att hitta en primitiv funktion till den integralen? I din formelsamling står det förmodligen något i stil med

$x\to \frac{x^2}{2}+C$

Nu gäller det alltså att inse att vi istället för x har ett t, att konstanten $C$ inte behövs, och att vi alltså får

$\frac{t^2}{2}$

Är du med?

Ja men åh, hur kan jag vara så lost.. det klart att 9,8 är konstanten, du ser.. min klanta*sel misstag är det som oroar mig att bli dumförklarad ... mvh tack så mkt

sofiakatarina skrev:

Ja men åh, hur kan jag vara så lost.. det klart att 9,8 är konstanten, du ser.. min klanta*sel misstag är det som oroar mig att bli dumförklarad ... mvh tack så mkt

Nä, jag tycker inte du ska oroa dig eller tänka så. Om alla kunde allt och tänkte helt rätt redan från början hade ju ingen behövt lära sig något. Och det hade ju varit hemskt tråkigt med tanke på hur roligt det är att lära sig saker.

Man är faktiskt inte dum bara för att man ännu inte lärt sig något.

Dessutom, ingen fråga är för dum. Vi som är här och hjälper till gör det ju för att vi tycker det är roligt.

Så  våga fråga allt du undrar (inklusive saker du kanske tror är "dumma") och våga ha roligt när du lär dig!

 bara för att jag ska förstå själv så har jag bara försökt räkna ut för att ta reda primitiv funktion mha derivata — men undrar om jag tänker rätt...